Equação reduzida da reta

A equação reduzida da reta parte da medida do ângulo que a reta forma com o eixo x.

Motivação

Temos uma reta r que tem equação geral ax + by + c = 0. Sabemos que o gráfico de uma função afim é justamente uma reta. Além disso, costumamos escrever a função afim na forma y = f(x). Poderíamos, então, querer converter a equação geral da reta ax + by + c = 0 exatamente para essa forma. Para isso, precisamos que b ≠ 0, porque precisamos isolar y na equação e, portanto, dividir toda a equação por b. Assim, se b ≠ 0, podemos transformar a equação geral desta maneira:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ isolamos }y\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

Com isso, obtivemos a escrita de uma função afim comum. Como essa escrita é bastante complicada, fazemos uma substituição, igualando

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ n& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

e podemos então escrever a equação anterior na forma:

$$y=mx+n$$

Não é nenhuma forma diferente: em vez da fração feia $-\frac{c}{b}$, apenas escrevemos n, e é só isso. Como a forma mx + n descreve uma função afim comum, uma reta nessa forma não pode ser paralela ao eixo y. Aliás, já excluímos isso ao dizer que b ≠ 0.

Se valesse b = 0, a reta seria paralela ao eixo y e a equação geral dessa reta teria a forma ax + c = 0. Se dividimos essa equação pelo número a e a transformamos, obtemos:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Como a fração $-\frac{c}{a}$ também é feia, introduzimos a substituição $k=-\frac{c}{a}$, de modo que no final obtemos a equação

$$x=k$$

Resumindo, toda reta que não é paralela ao eixo y pode ser escrita na forma y = mx + n, em que m, n ∈ ℝ, e toda reta paralela ao eixo y pode ser escrita na forma x = k, em que k ∈ ℝ.

A equação na forma y = mx + n é chamada de equação reduzida da reta, e o coeficiente m é chamado de coeficiente angular da reta. O coeficiente n é o coeficiente linear.

Exemplo

Temos uma reta que passa pelos pontos A(2, 8), B(8, 10). Determine a equação reduzida da reta. A equação reduzida é determinada com mais facilidade a partir da equação geral da reta, então primeiro vamos construí-la. A equação geral tem a forma ax + by + c = 0, em que (a, b) é o vetor normal, de modo que vamos encontrar o vetor normal. O vetor diretor tem coordenadas (8, 10) − (2, 8) = (6, 2), e portanto o vetor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ tem coordenadas (−2, 6). Na equação geral podemos, então, substituir a = −2, b = 6:

$$-2x+6y+c=0$$

Em lugar das coordenadas (x, y) substituímos na equação algum ponto pelo qual a reta certamente passa. Por exemplo, o ponto B(8, 10). Então substituímos na equação x = 8, y = 10:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Obtemos a equação geral

$$-2x+6y-44=0$$

Podemos dividir essa equação por −2 e obter uma forma um pouco mais bonita:

$$x-3y+22=0$$

A equação reduzida é obtida isolando y. Passamos todos os outros termos para o lado direito e em seguida dividimos a equação por três:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

A última linha representa a reta na forma reduzida. Se quiséssemos conhecer os coeficientes m, n, escreveríamos $m=\frac{1}{3},n=\frac{22}{3}$. Você ainda pode ver o gráfico da reta com o vetor diretor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e o vetor normal $\overrightarrow{\mathbf{n}}$:

Se o coeficiente n não tivesse saído de maneira tão inconveniente, $\frac{22}{3}$, você veria à primeira vista que o coeficiente n determina a coordenada y do ponto em que a reta cruza o eixo y. A interseção com o eixo y tem coordenada x = 0. Quando substituímos isso na equação $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$, obtemos $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, ou seja, para x = 0 o valor de y é $y=\frac{22}{3}$.

Coeficiente angular da reta

Se temos a equação de uma reta na forma reduzida y = mx + n, chamamos o número m de coeficiente angular da reta. O coeficiente angular da reta tem relação com o ângulo que a reta forma com o semieixo positivo x. Observe a figura a seguir:

A figura mostra quatro retas diferentes, com coeficientes angulares m diferentes, mas sempre com o mesmo coeficiente linear n = 2. Todas as retas têm, portanto, a forma y = mx + 2. Observe que, conforme o valor do coeficiente angular, isto é, o número que multiplica a incógnita x, muda de forma contínua, também muda o ângulo que a reta forma com o semieixo positivo x. Por exemplo, a reta roxa $y=\frac{1}{2}x+2$ forma com o semieixo o ângulo δ, a reta vermelha y = x + 2 forma com o semieixo o ângulo γ e a reta verde y = 2x + 2 forma com o semieixo o ângulo β.

Neste caso, vale que, quanto maior o coeficiente angular, maior também o ângulo que a reta forma com o semieixo. O coeficiente angular da reta roxa $y=\frac{1}{2}x+2$ é $m_1=\frac{1}{2}$, o coeficiente angular da reta verde y = 2x + 2 é m₂ = 2, e vale, portanto, m₁ < m₂. Ao mesmo tempo, vale δ < β. Mas, por exemplo, o coeficiente angular da reta azul y = −2x + 2 é m₃ = −2, menor que todos os anteriores, e mesmo assim o ângulo α é o maior de todos.

Vemos que o coeficiente angular m tem alguma relação com o ângulo. Vamos examiná-la mais de perto. Vamos mostrar apenas a reta roxa $y=\frac{1}{2}x+2$, e nos interessa o ângulo δ. Escolhemos na reta dois pontos distintos quaisquer A, B e formamos com eles um triângulo retângulo ABC, como mostra a figura. Valerá que os ângulos δ e ϵ têm a mesma medida, pois são ângulos correspondentes.

Vamos agora tentar expressar o ângulo ϵ por meio dos segmentos AC e BC. Para isso, precisamos conhecer os comprimentos desses segmentos. Vamos denotar as coordenadas dos pontos A e B assim: A = (x₁, y₁) = (2, 3) e B = (x₂, y₂) = (6, 5). O comprimento do segmento AC será, então, igual à diferença |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Tomamos a coordenada x do ponto B, que coincide com a coordenada x do ponto C, e subtraímos desse número a coordenada x do ponto A. Assim obtemos o comprimento do segmento AC. Fazemos o mesmo com o segmento BC, só que tomando as coordenadas y. Vale, portanto, |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Em seguida, usamos as funções trigonométricas, mais precisamente a tangente. No triângulo retângulo ABC vale, para o ângulo ϵ, $\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. A tangente do ângulo ϵ é igual à razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Se substituímos os segmentos pelos seus comprimentos, obtemos:

$$\mathrm{tg}(ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

A tangente do ângulo ϵ, que é igual ao ângulo δ, deu $\frac{1}{2}$. A tangente do ângulo que a reta forma com o semieixo positivo x é $\frac{1}{2}$. Já a equação dessa reta é $y=\frac{1}{2}x+2$, ou seja, a tangente do ângulo que a reta forma com o semieixo positivo x é igual ao coeficiente angular dessa reta! Isso não é por acaso, e vale em geral:

Se temos uma reta r que tem equação reduzida y = mx + n, então o coeficiente angular m é igual à tangente do ângulo que a reta r forma com o semieixo positivo x.