Normalform der Geradengleichung

Die Normalform der Geradengleichung geht von der Größe des Winkels aus, den die Gerade mit der x-Achse einschließt.

Motivation

Wir haben eine Gerade p mit der allgemeinen Gleichung ax + by + c = 0. Wir wissen, dass der Graph einer linearen Funktion genau eine Gerade ist. Eine lineare Funktion schreiben wir üblicherweise in der Form y = f(x). Wir könnten also die allgemeine Gleichung der Geraden ax + by + c = 0 genau in diese Form umwandeln wollen. Dafür brauchen wir b ≠ 0, denn wir müssen die Gleichung nach y auflösen und also die ganze Gleichung durch b teilen. Wenn also b ≠ 0 gilt, können wir die allgemeine Gleichung so umformen:

$$\begin{array}{rcl}ax+by+c& =& 0/:b\\ \frac{ax}{b}+y+\frac{c}{b}& =& 0/\text{ nach }y\text{ auflösen}\\ y& =& -\frac{ax}{b}-\frac{c}{b}\end{array}$$

So haben wir die Schreibweise einer gewöhnlichen linearen Funktion erhalten. Weil diese Schreibweise ziemlich umständlich ist, führen wir Abkürzungen ein und setzen

$$\begin{array}{rcl}m& =& -\frac{a}{b}\\ n& =& -\frac{c}{b}\end{array}$$

und dann können wir die vorige Gleichung in der Form schreiben:

$$y=mx+n$$

Das ist keine andere Form, wir haben nur statt des hässlichen Bruchs $-\frac{c}{b}$ einfach n geschrieben, mehr nicht. Weil die Form mx + n eine gewöhnliche lineare Funktion beschreibt, kann eine Gerade in dieser Form nicht parallel zur y-Achse sein. Das haben wir übrigens schon damit ausgeschlossen, dass wir b ≠ 0 gefordert haben.

Würde b = 0 gelten, wäre die Gerade parallel zur y-Achse, und die allgemeine Gleichung einer solchen Geraden hätte die Form ax + c = 0. Wenn wir diese Gleichung durch die Zahl a teilen und umformen, erhalten wir:

$$\begin{array}{rcl}ax+c& =& 0/:a\\ x+\frac{c}{a}& =& 0\\ x& =& -\frac{c}{a}\end{array}$$

Weil der Bruch $-\frac{c}{a}$ wieder hässlich ist, führen wir die Substitution $d=-\frac{c}{a}$ ein, sodass wir am Ende die Gleichung

$$x=d$$

erhalten.

Fassen wir zusammen: Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, können wir in der Form y = mx + n schreiben, wobei m, n ∈ ℝ, und jede Gerade parallel zur y-Achse können wir in der Form x = d schreiben, wobei d ∈ ℝ.

Die Gleichung der Form y = mx + n nennt man dann die Normalform der Geradengleichung und den Koeffizienten m nennen wir die Steigung der Geraden.

Beispiel

Gegeben ist eine Gerade, die durch die Punkte A(2 ∣ 8), B(8 ∣ 10) verläuft. Bestimme die Normalform der Geraden. Die Normalform bestimmt man am besten aus der allgemeinen Geradengleichung, also stellen wir zuerst diese auf. Die allgemeine Gleichung hat die Form ax + by + c = 0, wobei $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$ der Normalenvektor ist, also bestimmen wir den Normalenvektor. Der Richtungsvektor hat die Koordinaten (8 ∣ 10) − (2 ∣ 8) = (6 ∣ 2), also hat der Normalenvektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ die Koordinaten (−2 ∣ 6). In die allgemeine Gleichung können wir also a = −2, b = 6 einsetzen:

$$-2x+6y+c=0$$

Für die Koordinaten (x ∣ y) setzen wir in die Gleichung einen Punkt ein, durch den die Gerade sicher verläuft. Zum Beispiel den Punkt B(8 ∣ 10). Wir setzen also x = 8, y = 10 in die Gleichung ein:

$$\begin{array}{rcl}-2\cdot 8+6\cdot 10+c& =& 0\\ -16+60+c& =& 0\\ c& =& -44\end{array}$$

Wir erhalten die allgemeine Gleichung

$$-2x+6y-44=0$$

Diese Gleichung können wir durch −2 teilen und erhalten eine etwas schönere Form:

$$x-3y+22=0$$

Die Normalform erhalten wir, indem wir nach y auflösen. Wir bringen alle übrigen Terme auf die rechte Seite und teilen die Gleichung anschließend durch drei:

$$\begin{array}{rcl}x-3y+22& =& 0\\ -3y& =& -x-22/\cdot -1\\ 3y& =& x+22/\cdot \frac{1}{3}\\ y& =& \frac{1}{3}x+\frac{22}{3}\end{array}$$

Die letzte Zeile stellt die Gerade in der Normalform dar. Wenn wir die Koeffizienten m, n wissen wollten, würden wir $m=\frac{1}{3},n=\frac{22}{3}$ notieren. Du kannst dir noch den Graphen der Geraden mit dem Richtungsvektor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ und dem Normalenvektor $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ ansehen:

Wäre der Koeffizient n nicht gerade so unpraktisch als $\frac{22}{3}$ herausgekommen, könntest du auf den ersten Blick sehen, dass der Koeffizient n die y-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der y-Achse bestimmt. Der Schnittpunkt mit der y-Achse hat die x-Koordinate x = 0. Setzen wir das in die Gleichung $y=\frac{1}{3}x+\frac{22}{3}$ ein, erhalten wir $y=\frac{1}{3}\cdot 0+\frac{22}{3}=\frac{22}{3}$, also hat y für x = 0 den Wert $y=\frac{22}{3}$.

Steigung der Geraden

Hat eine Gerade die Gleichung in der Normalform y = mx + n, nennen wir die Zahl m die Steigung der Geraden. Die Steigung der Geraden hängt mit dem Winkel zusammen, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt. Sieh dir die folgende Abbildung an:

Die Abbildung zeigt vier verschiedene Geraden mit unterschiedlichen Steigungen m, aber immer mit demselben Koeffizienten n = 2. Alle Geraden haben also die Form y = mx + 2. Beachte, dass sich mit der stetigen Änderung der Steigung, also der Zahl vor der Unbekannten x, auch der Winkel ändert, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt. Zum Beispiel schließt die violette Gerade $y=\frac{1}{2}x+2$ mit der Achse den Winkel δ ein, die rote Gerade y = x + 2 den Winkel γ und die grüne Gerade y = 2x + 2 den Winkel β.

In diesem Fall gilt: Je größer die Steigung, desto größer ist auch der Winkel, den die Gerade mit der Achse einschließt. Die Steigung der violetten Geraden $y=\frac{1}{2}x+2$ ist $m_1=\frac{1}{2}$, die Steigung der grünen Geraden y = 2x + 2 ist m₂ = 2, es gilt also m₁ < m₂. Zugleich gilt δ < β. Aber zum Beispiel die Steigung der blauen Geraden y = −2x + 2 ist m₃ = −2, sie ist also kleiner als alle vorherigen, und trotzdem ist der Winkel α von allen Winkeln der größte.

Wir sehen, dass die Steigung m mit dem Winkel irgendwie zusammenhängt. Das untersuchen wir genauer. Wir stellen nur die violette Gerade $y=\frac{1}{2}x+2$ dar und interessieren uns für den Winkel δ. Wir wählen auf der Geraden zwei beliebige verschiedene Punkte A, B und bilden aus ihnen ein rechtwinkliges Dreieck ABC, wie in der Abbildung dargestellt. Die Winkel δ und ϵ sind gleich groß, weil es sich um Stufenwinkel handelt.

Wir versuchen nun, den Winkel ϵ mithilfe der Strecken AC und BC auszudrücken. Dafür müssen wir die Längen dieser Strecken kennen. Wir bezeichnen die Koordinaten der Punkte A und B so: A = (x₁ ∣ y₁) = (2 ∣ 3) und B = (x₂ ∣ y₂) = (6 ∣ 5). Die Länge der Strecke AC ist also gleich der Differenz |x₂ − x₁| = |6 − 2| = 4. Wir nehmen die x-Koordinate des Punktes B, die mit der x-Koordinate des Punktes C übereinstimmt, und ziehen von dieser Zahl die x-Koordinate des Punktes A ab. So erhalten wir die Länge der Strecke AC. Dasselbe machen wir mit der Strecke BC, nur nehmen wir die y-Koordinaten. Es gilt also |BC| = |y₂ − y₁| = |5 − 3| = 2.

Weiter verwenden wir die Winkelfunktionen, konkret den Tangens. Im rechtwinkligen Dreieck ABC gilt für den Winkel ϵ: $\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}$. Der Tangens des Winkels ϵ ist gleich dem Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete. Setzen wir für die Strecken ihre Längen ein, erhalten wir:

$$\tan (ϵ)=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac{|y_2-y_1|}{|x_2-x_1|}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

Der Tangens des Winkels ϵ, der gleich dem Winkel δ ist, beträgt also $\frac{1}{2}$. Der Tangens des Winkels, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt, ist $\frac{1}{2}$. Die Gleichung dieser Geraden ist aber $y=\frac{1}{2}x+2$, also ist der Tangens des Winkels, den die Gerade mit der positiven x-Achse einschließt, gleich der Steigung dieser Geraden! Das ist kein Zufall und gilt allgemein:

Hat eine Gerade p die Gleichung in der Normalform y = mx + n, dann ist die Steigung m gleich dem Tangens des Winkels, den die Gerade p mit der positiven x-Achse einschließt.