Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnice je rovnice, ve které se neznámá obvykle schovává v argumentu logaritmu. Nejjednodušší vypadá třeba takto:

$${\log }_{2}x=3$$

Logaritmus je exponent, na který musíme umocnit základ, abychom dostali argument. Rovnice se tedy ptá: na co musíme umocnit dvojku, abychom dostali x? Na třetí. Takže

$$x=2^3=8.$$

Totéž ukáže i graf. Hledáme místo, kde graf funkce y = log₂ x protne vodorovnou přímku y = 3:

Funkce log₂ x je rostoucí, takže přímku protne jen jednou a rovnice má jediné řešení. V tom je celé tajemství logaritmických rovnic: všechno se snažíme převést na tvar, kde je na jedné straně jeden logaritmus a na druhé číslo nebo také jeden logaritmus. Je to podobný trik jako u exponenciálních rovnic, kde jsme hledali stejné základy.

Podmínky

Logaritmus umí jen kladná čísla. Kolik je log₂(−4)? Na co umocnit dvojku, aby vyšlo −4? Na nic, mocnina dvojky je vždycky kladná. Z toho plyne, že argument každého logaritmu v rovnici musí být kladný.

Úpravy, které s logaritmy budeme dělat, ale nejsou vždycky ekvivalentní a tuhle podmínku umí potichu ztratit. Pak vyjde kořen, pro který původní rovnice vůbec nedává smysl. Typická chyba: rovnici mechanicky vypočítat, opsat všechny kořeny a nezkontrolovat, jestli se do logaritmu vůbec smí dosadit.

Bránit se tomu můžeme dvěma způsoby:

• na začátku určit podmínky, tedy definiční obor rovnice, a na konci vyřadit kořeny, které do něj nepatří,
• nebo na konci udělat zkoušku a každý kořen dosadit do původní rovnice.

Zkouška je jistější, protože odhalí i obyčejnou chybu v počítání. U logaritmických rovnic navíc bývá krátká, takže se vyplatí pokaždé.

Odlogaritmování

Pokud se podaří rovnici upravit na tvar

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

kde jsou na obou stranách logaritmy o stejném základu, můžeme je jednoduše „škrtnout“ a řešit rovnici

$$f(x)=g(x).$$

Smí se to proto, že logaritmus je pro základ větší než jedna rostoucí a pro menší klesající, takže stejnou hodnotu dává jen pro stejný argument. Tomuto kroku se říká odlogaritmování. Pozor ale: škrtat se smí, až když je na každé straně jediný logaritmus a nic dalšího. Z rovnice log x + log 3 = log 12 škrtnutím nevznikne x + 3 = 12. Levou stranu je nejdřív potřeba slepit do jednoho logaritmu, jak si ukážeme v další části, a teprve pak vyjde x = 4.

Teď si to vyzkoušíme na příkladu:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Připomeňme, že log bez základu znamená dekadický logaritmus, tedy logaritmus o základu deset. Základ je na obou stranách stejný, takže odlogaritmujeme a zbytek je obyčejná lineární rovnice:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Zkouška: vlevo vyjde log(2 · 4 + 3) = log 11, vpravo log(4 + 7) = log 11. Sedí, oba argumenty jsou kladné, takže řešením je x = 4.

Věty o logaritmech

Často stojí na jedné straně logaritmů víc. Pak je musíme pomocí vět o logaritmech slepit do jednoho. Podívejme se na rovnici

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Nejdřív podmínky. Musí platit x>0 a zároveň x − 2>0, tedy dohromady x>2.

Součet logaritmů o stejném základu je logaritmus součinu, log_a u + log_a v = log_a(u · v), pokud jsou u i v kladné. Levou stranu tedy slepíme:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Teď jsme zase na začátku: na levé straně jeden logaritmus, na pravé číslo, takže stačí použít definici:

$$x(x-2)=2^3$$

Závorku roznásobíme a osmičku převedeme na levou stranu:

$$x^2-2x-8=0$$

Tohle už je kvadratická rovnice. Levou stranu rozložíme na součin (x − 4)(x + 2) = 0, což dává dva kořeny:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Zrada. Číslo −2 podmínku x>2 nesplní, do původní rovnice ho dosadit nejde, protože log₂(−2) neexistuje. Odkud se tam vzalo? Ze slepení logaritmů. Výraz x(x − 2) má pro x = −2 hodnotu osm, je tedy kladný, takže upravená rovnice s ním problém nemá. Ta původní ale ano. Slepením logaritmů jsme rovnici rozšířili o čísla, pro která ta původní nedává smysl.

Zkouška pro x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Sedí, takže rovnice má jediné řešení, x = 4.

Substituce

Někdy se v rovnici objeví logaritmus na druhou:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

Zápis log² x znamená (log x)², tedy nejdřív logaritmus a až potom druhá mocnina, ne log(x²). Podmínka je jen x>0.

Na první pohled to vypadá hrozivě, ale zblízka je to převlečená kvadratická rovnice. Zavedeme substituci a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Rozložíme na (a − 1)(a − 2) = 0, takže a = 1 nebo a = 2. Ještě nejsme hotovi, hledáme přece x, ne a. Vrátíme se tedy k substituci:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Oba kořeny jsou kladné, takže podmínku splňují. Zkouška pro x = 100: log 100 = 2, takže 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Pro x = 10 vyjde 1 − 3 + 2 = 0. Rovnice má dvě řešení, x = 10 a x = 100.