Λογαριθμικές εξισώσεις

Λογαριθμική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία ο άγνωστος κρύβεται συνήθως μέσα στο όρισμα ενός λογαρίθμου. Η πιο απλή μοιάζει για παράδειγμα με αυτή:

$${\log }_{2}x=3$$

Ο λογάριθμος είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τη βάση, για να πάρουμε το όρισμα. Η εξίσωση λοιπόν ρωτά: σε ποια δύναμη πρέπει να υψώσουμε το δύο, για να πάρουμε x; Στην τρίτη. Άρα

$$x=2^3=8.$$

Το ίδιο δείχνει και η γραφική παράσταση. Ψάχνουμε το σημείο όπου η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = log₂ x τέμνει την οριζόντια ευθεία y = 3:

Η συνάρτηση log₂ x είναι γνησίως αύξουσα, επομένως τέμνει την ευθεία μόνο μία φορά και η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση. Σε αυτό βρίσκεται όλο το μυστικό των λογαριθμικών εξισώσεων: προσπαθούμε να τις φέρουμε σε μορφή όπου στο ένα μέλος υπάρχει ένας λογάριθμος και στο άλλο ένας αριθμός ή επίσης ένας λογάριθμος. Είναι παρόμοιο κόλπο με αυτό των εκθετικών εξισώσεων, όπου ψάχναμε ίσες βάσεις.

Περιορισμοί

Λογάριθμο έχουν μόνο οι θετικοί αριθμοί. Πόσο είναι το log₂(−4); Σε ποιον εκθέτη να υψώσουμε το δύο, για να βγει −4; Σε κανέναν, αφού μια δύναμη του δύο είναι πάντα θετική. Από αυτό προκύπτει ότι το όρισμα κάθε λογαρίθμου στην εξίσωση πρέπει να είναι θετικό.

Οι μετασχηματισμοί που θα κάνουμε με τους λογαρίθμους δεν είναι όμως πάντα ισοδύναμοι και μπορούν να χάσουν αθόρυβα αυτόν τον περιορισμό. Τότε βγαίνει μια ρίζα για την οποία η αρχική εξίσωση δεν έχει καθόλου νόημα. Τυπικό λάθος: λύνουμε την εξίσωση μηχανικά, γράφουμε όλες τις ρίζες και δεν ελέγχουμε αν επιτρέπεται να τις βάλουμε μέσα σε λογάριθμο.

Μπορούμε να προστατευτούμε με δύο τρόπους:

• στην αρχή βρίσκουμε τους περιορισμούς, δηλαδή το πεδίο ορισμού της εξίσωσης, και στο τέλος απορρίπτουμε τις ρίζες που δεν ανήκουν σε αυτό,
• ή στο τέλος κάνουμε επαλήθευση και αντικαθιστούμε κάθε ρίζα στην αρχική εξίσωση.

Η επαλήθευση είναι πιο σίγουρη, επειδή αποκαλύπτει και ένα απλό λάθος στις πράξεις. Στις λογαριθμικές εξισώσεις μάλιστα είναι συνήθως σύντομη, οπότε αξίζει κάθε φορά.

Απαλοιφή των λογαρίθμων

Αν καταφέρουμε να φέρουμε την εξίσωση στη μορφή

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

όπου και στα δύο μέλη υπάρχουν λογάριθμοι με την ίδια βάση, μπορούμε απλά να τους «διαγράψουμε» και να λύσουμε την εξίσωση

$$f(x)=g(x).$$

Αυτό επιτρέπεται, επειδή ο λογάριθμος είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση όταν η βάση είναι μεγαλύτερη από το ένα και γνησίως φθίνουσα όταν είναι μικρότερη, οπότε παίρνει την ίδια τιμή μόνο για το ίδιο όρισμα. Αυτό το βήμα λέγεται απαλοιφή των λογαρίθμων. Προσοχή όμως: διαγράφουμε μόνο όταν σε κάθε μέλος υπάρχει ένας μόνο λογάριθμος και τίποτε άλλο. Από την εξίσωση log x + log 3 = log 12 με διαγραφή δεν προκύπτει x + 3 = 12. Το αριστερό μέλος πρέπει πρώτα να το συμπτύξουμε σε έναν λογάριθμο, όπως θα δούμε στο επόμενο μέρος, και μόνο τότε βγαίνει x = 4.

Ας το δοκιμάσουμε σε ένα παράδειγμα:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Θυμίσου ότι το log χωρίς βάση σημαίνει δεκαδικό λογάριθμο, δηλαδή λογάριθμο με βάση το δέκα. Η βάση είναι και στα δύο μέλη η ίδια, άρα απαλείφουμε τους λογαρίθμους και το υπόλοιπο είναι μια συνηθισμένη εξίσωση πρώτου βαθμού:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Επαλήθευση: αριστερά βγαίνει log(2 · 4 + 3) = log 11, δεξιά log(4 + 7) = log 11. Ταιριάζει, και τα δύο ορίσματα είναι θετικά, άρα η λύση είναι x = 4.

Ιδιότητες των λογαρίθμων

Συχνά στο ένα μέλος υπάρχουν περισσότεροι λογάριθμοι. Τότε πρέπει να τους συμπτύξουμε σε έναν με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των λογαρίθμων. Ας δούμε την εξίσωση

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Πρώτα οι περιορισμοί. Πρέπει να ισχύει x>0 και ταυτόχρονα x − 2>0, δηλαδή συνολικά x>2.

Το άθροισμα λογαρίθμων με την ίδια βάση είναι ο λογάριθμος του γινομένου, log_a u + log_a v = log_a(u · v), αν τα u και v είναι θετικά. Το αριστερό μέλος λοιπόν το συμπτύσσουμε:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Τώρα είμαστε πάλι στην αρχή: στο αριστερό μέλος ένας λογάριθμος, στο δεξιό ένας αριθμός, οπότε αρκεί να χρησιμοποιήσουμε τον ορισμό:

$$x(x-2)=2^3$$

Εφαρμόζουμε την επιμεριστική ιδιότητα στην παρένθεση και περνάμε το οκτώ στο αριστερό μέλος:

$$x^2-2x-8=0$$

Αυτή είναι ήδη εξίσωση δευτέρου βαθμού. Παραγοντοποιούμε το αριστερό μέλος σε γινόμενο (x − 4)(x + 2) = 0, που δίνει δύο ρίζες:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Παγίδα. Ο αριθμός −2 δεν ικανοποιεί τον περιορισμό x>2 και δεν μπορεί να αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση, επειδή το log₂(−2) δεν υπάρχει. Από πού βγήκε λοιπόν; Από τη σύμπτυξη των λογαρίθμων. Η παράσταση x(x − 2) για x = −2 έχει τιμή οκτώ, είναι δηλαδή θετική, οπότε η μετασχηματισμένη εξίσωση δεν έχει πρόβλημα με αυτήν. Η αρχική όμως έχει. Με τη σύμπτυξη των λογαρίθμων διευρύναμε την εξίσωση με αριθμούς για τους οποίους η αρχική δεν έχει νόημα.

Επαλήθευση για x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Ταιριάζει, άρα η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση, x = 4.

Αντικατάσταση

Κάποιες φορές στην εξίσωση εμφανίζεται ο λογάριθμος στο τετράγωνο:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

Η γραφή log² x σημαίνει (log x)², δηλαδή πρώτα ο λογάριθμος και μετά το τετράγωνο, όχι log(x²). Ο περιορισμός είναι μόνο x>0.

Με την πρώτη ματιά φαίνεται τρομακτική, αλλά από κοντά είναι μια μεταμφιεσμένη εξίσωση δευτέρου βαθμού. Θέτουμε a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Παραγοντοποιούμε σε (a − 1)(a − 2) = 0, άρα a = 1 ή a = 2. Δεν τελειώσαμε ακόμα, αφού ψάχνουμε το x, όχι το a. Επαναφέρουμε λοιπόν την αντικατάσταση:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Και οι δύο ρίζες είναι θετικές, άρα ικανοποιούν τον περιορισμό. Επαλήθευση για x = 100: log 100 = 2, οπότε 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Για x = 10 βγαίνει 1 − 3 + 2 = 0. Η εξίσωση έχει δύο λύσεις, x = 10 και x = 100.