Równania logarytmiczne

Równanie logarytmiczne to równanie, w którym niewiadoma najczęściej kryje się w argumencie logarytmu. Najprostsze wygląda na przykład tak:

$${\log }_{2}x=3$$

Logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać argument. Równanie pyta więc: do jakiej potęgi trzeba podnieść dwójkę, żeby dostać x? Do trzeciej. Zatem

$$x=2^3=8.$$

To samo pokazuje wykres. Szukamy miejsca, w którym wykres funkcji y = log₂ x przecina poziomą prostą y = 3:

Funkcja log₂ x jest rosnąca, więc prostą przetnie tylko raz, a równanie ma jedno rozwiązanie. Na tym polega cała tajemnica równań logarytmicznych: wszystko staramy się sprowadzić do postaci, w której po jednej stronie stoi jeden logarytm, a po drugiej liczba albo także jeden logarytm. To podobny trik jak w równaniach wykładniczych, gdzie szukaliśmy takich samych podstaw.

Warunki

Logarytm istnieje tylko dla liczb dodatnich. Ile wynosi log₂(−4)? Do jakiej potęgi trzeba podnieść dwójkę, żeby wyszło −4? Do żadnej, bo potęga dwójki jest zawsze dodatnia. Wynika z tego, że argument każdego logarytmu w równaniu musi być dodatni.

Przekształcenia, które będziemy wykonywać na logarytmach, nie zawsze jednak są równoważne i ten warunek potrafią po cichu zgubić. Wtedy wychodzi rozwiązanie, dla którego pierwotne równanie w ogóle nie ma sensu. Typowy błąd: rozwiązać równanie mechanicznie, przepisać wszystkie wyniki i nie sprawdzić, czy w ogóle wolno je podstawić do logarytmu.

Możemy się przed tym zabezpieczyć na dwa sposoby:

• na początku wyznaczyć warunki, czyli dziedzinę równania, a na końcu odrzucić rozwiązania, które do niej nie należą,
• albo na końcu zrobić sprawdzenie i każde rozwiązanie podstawić do pierwotnego równania.

Sprawdzenie jest pewniejsze, bo wykryje także zwykły błąd rachunkowy. Przy równaniach logarytmicznych jest przy tym zwykle krótkie, więc opłaca się za każdym razem.

Opuszczanie logarytmów

Jeśli uda się przekształcić równanie do postaci

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

w której po obu stronach stoją logarytmy o takiej samej podstawie, możemy je po prostu „skreślić” i rozwiązać równanie

$$f(x)=g(x).$$

Wolno tak zrobić, ponieważ logarytm jest dla podstawy większej od jedności rosnący, a dla mniejszej malejący, więc tę samą wartość przyjmuje tylko dla tego samego argumentu. Ten krok nazywamy opuszczaniem logarytmów. Uwaga jednak: skreślać wolno dopiero wtedy, gdy po każdej stronie stoi jeden logarytm i nic więcej. Z równania log x + log 3 = log 12 po skreśleniu nie powstanie x + 3 = 12. Lewą stronę trzeba najpierw skleić w jeden logarytm, jak zobaczymy w następnej części, i dopiero wtedy wyjdzie x = 4.

Wypróbujmy to na przykładzie:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Przypomnijmy, że log bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli logarytm o podstawie dziesięć. Podstawa jest po obu stronach taka sama, więc opuszczamy logarytmy, a reszta to zwykłe równanie liniowe:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Sprawdzenie: po lewej wychodzi log(2 · 4 + 3) = log 11, po prawej log(4 + 7) = log 11. Zgadza się, oba argumenty są dodatnie, więc rozwiązaniem jest x = 4.

Twierdzenia o logarytmach

Często po jednej stronie stoi kilka logarytmów. Wtedy musimy je skleić w jeden za pomocą twierdzeń o logarytmach. Przyjrzyjmy się równaniu

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Najpierw warunki. Musi zachodzić x>0 i jednocześnie x − 2>0, czyli łącznie x>2.

Suma logarytmów o takiej samej podstawie to logarytm iloczynu, log_a u + log_a v = log_a(u · v), o ile u i v są dodatnie. Lewą stronę więc sklejamy:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Teraz jesteśmy znowu na początku: po lewej stronie jeden logarytm, po prawej liczba, więc wystarczy skorzystać z definicji:

$$x(x-2)=2^3$$

Wymnażamy nawias i przenosimy ósemkę na lewą stronę:

$$x^2-2x-8=0$$

To jest już równanie kwadratowe. Lewą stronę rozkładamy na iloczyn (x − 4)(x + 2) = 0, co daje dwa rozwiązania:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Pułapka. Liczba −2 nie spełnia warunku x>2, nie da się jej podstawić do pierwotnego równania, bo log₂(−2) nie istnieje. Skąd się tam wzięła? Ze sklejenia logarytmów. Wyrażenie x(x − 2) ma dla x = −2 wartość osiem, jest więc dodatnie, zatem przekształcone równanie nie ma z nim problemu. Pierwotne jednak ma. Sklejając logarytmy, rozszerzyliśmy równanie o liczby, dla których to pierwotne nie ma sensu.

Sprawdzenie dla x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Zgadza się, więc równanie ma jedno rozwiązanie, x = 4.

Podstawienie

Czasem w równaniu pojawia się logarytm do kwadratu:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

Zapis log² x oznacza (log x)², czyli najpierw logarytm, a dopiero potem druga potęga, a nie log(x²). Warunek to tylko x>0.

Na pierwszy rzut oka wygląda groźnie, ale z bliska to przebrane równanie kwadratowe. Wprowadzamy podstawienie a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Rozkładamy na (a − 1)(a − 2) = 0, więc a = 1 lub a = 2. Jeszcze nie skończyliśmy, przecież szukamy x, a nie a. Wracamy więc do podstawienia:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Oba rozwiązania są dodatnie, więc spełniają warunek. Sprawdzenie dla x = 100: log 100 = 2, więc 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Dla x = 10 wychodzi 1 − 3 + 2 = 0. Równanie ma dwa rozwiązania, x = 10 i x = 100.