Logarithmusgleichungen

Eine Logarithmusgleichung ist eine Gleichung, in der sich die Unbekannte meist im Argument eines Logarithmus versteckt. Die einfachste sieht zum Beispiel so aus:

$${\log }_{2}x=3$$

Der Logarithmus ist der Exponent, mit dem wir die Basis potenzieren müssen, um das Argument zu erhalten. Die Gleichung fragt also: Mit welcher Zahl müssen wir die Zwei potenzieren, um x zu erhalten? Mit drei. Also gilt

$$x=2^3=8.$$

Dasselbe zeigt auch der Graph. Wir suchen die Stelle, an der der Graph der Funktion y = log₂ x die waagrechte Gerade y = 3 schneidet:

Die Funktion log₂ x ist streng monoton steigend, sie schneidet die Gerade also nur einmal, und die Gleichung hat genau eine Lösung. Darin steckt das ganze Geheimnis der Logarithmusgleichungen: Wir versuchen, alles in eine Form zu bringen, in der auf einer Seite ein Logarithmus steht und auf der anderen eine Zahl oder ebenfalls ein Logarithmus. Das ist ein ähnlicher Trick wie bei den Exponentialgleichungen, wo wir gleiche Basen gesucht haben.

Bedingungen

Einen Logarithmus gibt es nur für positive Zahlen. Wie viel ist log₂(−4)? Mit welcher Zahl müssen wir die Zwei potenzieren, damit −4 herauskommt? Mit keiner, eine Potenz von zwei ist immer positiv. Daraus folgt: Das Argument jedes Logarithmus in der Gleichung muss positiv sein.

Die Umformungen, die wir mit Logarithmen machen, sind aber nicht immer Äquivalenzumformungen, und diese Bedingung kann dabei unbemerkt verloren gehen. Dann kommt eine Lösung heraus, für die die ursprüngliche Gleichung gar keinen Sinn ergibt. Ein typischer Fehler: Man rechnet die Gleichung mechanisch aus, schreibt alle Lösungen auf und prüft nicht, ob man sie überhaupt in einen Logarithmus einsetzen darf.

Dagegen können wir uns auf zwei Arten schützen:

• Wir bestimmen am Anfang die Bedingungen, also die Definitionsmenge der Gleichung, und scheiden am Ende die Lösungen aus, die nicht dazugehören,
• oder wir machen am Ende die Probe und setzen jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein.

Die Probe ist sicherer, denn sie deckt auch einen gewöhnlichen Rechenfehler auf. Bei Logarithmusgleichungen ist sie außerdem meist kurz, deshalb lohnt sie sich immer.

Entlogarithmieren

Wenn wir die Gleichung auf die Form

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

bringen können, bei der auf beiden Seiten Logarithmen zur gleichen Basis stehen, dürfen wir sie einfach „streichen“ und die Gleichung

$$f(x)=g(x)$$

lösen. Das ist erlaubt, weil der Logarithmus für eine Basis größer als eins streng monoton steigend und für eine Basis kleiner als eins streng monoton fallend ist und denselben Wert deshalb nur für dasselbe Argument annimmt. Diesen Schritt nennt man Entlogarithmieren. Aber Vorsicht: Streichen darf man erst, wenn auf jeder Seite nur ein einziger Logarithmus steht und sonst nichts. Aus der Gleichung lg x + lg 3 = lg 12 wird durch Streichen nicht x + 3 = 12. Die linke Seite muss man zuerst zu einem Logarithmus zusammenfassen, wie wir im nächsten Abschnitt zeigen, und erst dann kommt x = 4 heraus.

Probieren wir das an einem Beispiel aus:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Erinnere dich: lg bezeichnet den dekadischen Logarithmus, also den Logarithmus zur Basis zehn. Die Basis ist auf beiden Seiten gleich, wir entlogarithmieren also, und der Rest ist eine gewöhnliche lineare Gleichung:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Probe: Links ergibt sich lg(2 · 4 + 3) = lg 11, rechts lg(4 + 7) = lg 11. Das stimmt, beide Argumente sind positiv, also ist die Lösung x = 4.

Logarithmengesetze

Oft stehen auf einer Seite mehrere Logarithmen. Dann müssen wir sie mit den Logarithmengesetzen zu einem zusammenfassen. Sehen wir uns die Gleichung

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$$

an.

Zuerst die Bedingungen. Es muss x>0 und gleichzeitig x − 2>0 gelten, also insgesamt x>2.

Die Summe von Logarithmen zur gleichen Basis ist der Logarithmus des Produkts, log_a u + log_a v = log_a(u · v), wenn u und v positiv sind. Die linke Seite fassen wir also zusammen:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Jetzt sind wir wieder am Anfang: Links steht ein Logarithmus, rechts eine Zahl, also genügt es, die Definition zu verwenden:

$$x(x-2)=2^3$$

Die Klammer multiplizieren wir aus und bringen die Acht auf die linke Seite:

$$x^2-2x-8=0$$

Das ist schon eine quadratische Gleichung. Die linke Seite zerlegen wir in das Produkt (x − 4)(x + 2) = 0, und das ergibt zwei Lösungen:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Falle. Die Zahl −2 erfüllt die Bedingung x>2 nicht, in die ursprüngliche Gleichung lässt sie sich nicht einsetzen, weil log₂(−2) nicht existiert. Woher kommt sie dann? Vom Zusammenfassen der Logarithmen. Der Term x(x − 2) hat für x = −2 den Wert acht, ist also positiv, deshalb hat die umgeformte Gleichung mit ihm kein Problem. Die ursprüngliche aber schon. Durch das Zusammenfassen der Logarithmen haben wir die Gleichung um Zahlen erweitert, für die die ursprüngliche keinen Sinn ergibt.

Probe für x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Das stimmt, die Gleichung hat also genau eine Lösung, x = 4.

Substitution

Manchmal taucht in der Gleichung ein quadrierter Logarithmus auf:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Die Schreibweise lg² x bedeutet (lg x)², also zuerst der Logarithmus und erst danach das Quadrat, nicht lg(x²). Die Bedingung ist nur x>0.

Auf den ersten Blick sieht das furchterregend aus, aber aus der Nähe ist es eine verkleidete quadratische Gleichung. Wir führen die Substitution a = lg x ein:

$$a^2-3a+2=0$$

Wir zerlegen in (a − 1)(a − 2) = 0, also a = 1 oder a = 2. Wir sind noch nicht fertig, wir suchen ja x, nicht a. Wir kehren also zur Substitution zurück:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Beide Lösungen sind positiv, erfüllen also die Bedingung. Probe für x = 100: lg 100 = 2, also 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Für x = 10 ergibt sich 1 − 3 + 2 = 0. Die Gleichung hat zwei Lösungen, x = 10 und x = 100.