Логарифмічні рівняння

Логарифмічне рівняння — це рівняння, у якому невідома здебільшого ховається в аргументі логарифма. Найпростіше з них виглядає, наприклад, так:

$${\log }_{2}x=3$$

Логарифм — це показник степеня, до якого треба піднести основу, щоб отримати аргумент. Тож рівняння запитує: до якого степеня треба піднести двійку, щоб отримати x? До третього. Отже,

$$x=2^3=8.$$

Те саме показує й графік. Шукаємо місце, де графік функції y = log₂ x перетинає горизонтальну пряму y = 3:

Функція log₂ x зростає, тому пряму вона перетне лише раз, і рівняння має єдиний розв'язок. У цьому весь секрет логарифмічних рівнянь: ми намагаємося звести все до вигляду, де з одного боку стоїть один логарифм, а з другого — число або також один логарифм. Це схожий прийом, як і в показникових рівняннях, де ми шукали однакові основи.

Умови

Логарифм існує лише для додатних чисел. Чому дорівнює log₂(−4)? До якого степеня піднести двійку, щоб вийшло −4? Ні до якого, адже степінь двійки завжди додатний. Звідси випливає, що аргумент кожного логарифма в рівнянні має бути додатним.

Перетворення, які ми виконуватимемо з логарифмами, не завжди рівносильні, і цю умову вони можуть непомітно загубити. Тоді виходить корінь, для якого початкове рівняння взагалі не має змісту. Типова помилка: розв'язати рівняння механічно, виписати всі корені й не перевірити, чи їх узагалі можна підставляти в логарифм.

Захиститися від цього можна двома способами:

• на початку визначити умови, тобто область визначення рівняння, а наприкінці відкинути корені, які їй не належать,
• або наприкінці зробити перевірку й підставити кожен корінь у початкове рівняння.

Перевірка надійніша, бо виявить і звичайну помилку в обчисленнях. До того ж у логарифмічних рівняннях вона зазвичай коротка, тож варто робити її щоразу.

Потенціювання

Якщо вдалося перетворити рівняння до вигляду

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

де з обох боків стоять логарифми з однаковою основою, ми можемо їх просто «закреслити» й розв'язувати рівняння

$$f(x)=g(x).$$

Так можна робити тому, що логарифм зростає для основи, більшої за одиницю, і спадає для основи, меншої за одиницю, тож однакового значення набуває лише за однакового аргументу. Цей крок називається потенціюванням. Але увага: закреслювати можна, лише коли з кожного боку стоїть один логарифм і більше нічого. З рівняння lg x + lg 3 = lg 12 закресленням не вийде x + 3 = 12. Ліву частину спершу треба склеїти в один логарифм, як ми побачимо в наступному розділі, і лише тоді вийде x = 4.

Спробуймо це на прикладі:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Нагадаємо, що lg — це десятковий логарифм, тобто логарифм з основою десять. Основа з обох боків однакова, тож потенціюємо, а решта — звичайне лінійне рівняння:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Перевірка: ліворуч виходить lg(2 · 4 + 3) = lg 11, праворуч lg(4 + 7) = lg 11. Збігається, обидва аргументи додатні, тож розв'язок — x = 4.

Властивості логарифмів

Часто з одного боку стоїть кілька логарифмів. Тоді нам треба за допомогою властивостей логарифмів склеїти їх в один. Розгляньмо рівняння

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Спершу умови. Має виконуватися x>0 і водночас x − 2>0, тобто разом x>2.

Сума логарифмів з однаковою основою — це логарифм добутку, log_a u + log_a v = log_a(u · v), якщо u і v додатні. Отже, ліву частину склеюємо:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Тепер ми знову на початку: ліворуч один логарифм, праворуч число, тож досить скористатися означенням:

$$x(x-2)=2^3$$

Розкриваємо дужки й переносимо вісімку ліворуч:

$$x^2-2x-8=0$$

Це вже квадратне рівняння. Ліву частину розкладаємо на множники: (x − 4)(x + 2) = 0, що дає два корені:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Пастка. Число −2 не задовольняє умову x>2, у початкове рівняння його підставити не можна, бо log₂(−2) не існує. Звідки воно взялося? Зі склеювання логарифмів. Вираз x(x − 2) для x = −2 дорівнює восьми, тобто додатний, тож перетворене рівняння з ним проблем не має. А початкове має. Склеївши логарифми, ми розширили рівняння числами, для яких початкове не має змісту.

Перевірка для x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Збігається, отже, рівняння має єдиний розв'язок, x = 4.

Заміна змінної

Іноді в рівнянні з'являється логарифм у квадраті:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Запис lg² x означає (lg x)², тобто спочатку логарифм, а вже потім квадрат, а не lg(x²). Умова лише x>0.

На перший погляд це лякає, але зблизька це перевдягнене квадратне рівняння. Уводимо заміну a = lg x:

$$a^2-3a+2=0$$

Розкладаємо на (a − 1)(a − 2) = 0, тож a = 1 або a = 2. Ми ще не закінчили, адже шукаємо x, а не a. Тому повертаємося до заміни:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Обидва корені додатні, отже, умову задовольняють. Перевірка для x = 100: lg 100 = 2, тож 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Для x = 10 виходить 1 − 3 + 2 = 0. Рівняння має два розв'язки, x = 10 і x = 100.