Équation logarithmique

Une équation logarithmique est une équation dans laquelle l’inconnue se cache le plus souvent dans l’argument d’un logarithme. La plus simple s’écrit par exemple :

$${\log }_{2}x=3$$

Le logarithme est un exposant : c’est la puissance à laquelle il faut élever la base pour obtenir l’argument. L’équation demande donc : à quelle puissance faut-il élever deux pour obtenir x ? À la puissance 3. Donc

$$x=2^3=8.$$

Le graphique montre la même chose. On cherche le point où le graphe de la fonction y = log₂ x coupe la droite horizontale y = 3 :

La fonction log₂ x est strictement croissante, elle ne coupe donc la droite qu’une seule fois, et l’équation admet une unique solution. C’est là tout le secret des équations logarithmiques : on cherche toujours à se ramener à une forme où il y a d’un côté un seul logarithme et de l’autre un nombre ou un autre logarithme. C’est une astuce semblable à celle des équations exponentielles, où nous cherchions des bases identiques.

Conditions d’existence

Le logarithme n’est défini que pour des nombres strictement positifs. Combien vaut log₂(−4) ? À quelle puissance faut-il élever deux pour obtenir −4 ? À aucune, car une puissance de deux est toujours strictement positive. Il en découle que l’argument de chaque logarithme de l’équation doit être strictement positif.

Les transformations que nous faisons avec les logarithmes ne sont cependant pas toujours équivalentes et peuvent faire disparaître cette condition sans prévenir. On obtient alors une racine pour laquelle l’équation initiale n’a pas de sens. L’erreur typique : résoudre l’équation mécaniquement, recopier toutes les racines et ne pas vérifier si elles peuvent vraiment être substituées dans le logarithme.

On peut s’en prémunir de deux façons :

• au début, déterminer les conditions, c’est-à-dire l’ensemble de définition de l’équation, et à la fin éliminer les racines qui n’y appartiennent pas,
• ou à la fin faire une vérification et substituer chaque racine dans l’équation initiale.

La vérification est plus sûre, car elle révèle même une simple erreur de calcul. Pour les équations logarithmiques, elle est en plus souvent courte, donc cela vaut la peine de la faire à chaque fois.

Suppression des logarithmes

Si l’on parvient à ramener l’équation à la forme

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

où les deux membres sont des logarithmes de même base, on peut simplement « barrer » les logarithmes et résoudre

$$f(x)=g(x).$$

C’est permis, car le logarithme est strictement croissant si la base est supérieure à 1, et strictement décroissant si la base est comprise entre 0 et 1 : il ne prend la même valeur que pour des arguments égaux. Cette étape s’appelle la suppression des logarithmes. Attention toutefois : on ne peut barrer que lorsqu’il y a de chaque côté un seul logarithme et rien d’autre. De l’équation log x + log 3 = log 12, on n’obtient pas x + 3 = 12 en barrant. Il faut d’abord regrouper le membre de gauche en un seul logarithme, comme nous le verrons dans la partie suivante, et alors on trouve x = 4.

Essayons cela sur un exemple :

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Rappelons que log sans base désigne le logarithme décimal, c’est-à-dire le logarithme de base dix. Les bases sont identiques, on barre donc les logarithmes et il reste une simple équation du premier degré :

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Vérification : à gauche on obtient log(2 · 4 + 3) = log 11, à droite log(4 + 7) = log 11. Cela concorde, les deux arguments sont strictement positifs, donc la solution est x = 4.

Propriétés des logarithmes

Souvent, il y a plusieurs logarithmes d’un même côté. Il faut alors les regrouper en un seul à l’aide des propriétés des logarithmes. Considérons l’équation

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

D’abord les conditions : il faut x>0 et en même temps x − 2>0, donc au total x>2.

La somme de deux logarithmes de même base est le logarithme du produit, log_a u + log_a v = log_a(u · v), si u et v sont toutes deux strictement positives. Regroupons donc le membre de gauche :

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Nous revoilà au point de départ : un seul logarithme à gauche, un nombre à droite. Il suffit donc d’utiliser la définition :

$$x(x-2)=2^3$$

Développons la parenthèse et faisons passer 8 à gauche :

$$x^2-2x-8=0$$

C’est une équation du second degré. Factorisons le membre de gauche en (x − 4)(x + 2) = 0, ce qui donne deux racines :

$$x_1=4,x_2=-2$$

Attention, piège. Le nombre −2 ne vérifie pas la condition x>2 : on ne peut pas le substituer dans l’équation initiale, car log₂(−2) n’existe pas. D’où vient-il ? Du regroupement des logarithmes. L’expression x(x − 2) vaut 8 pour x = −2, elle est donc strictement positive, et l’équation transformée ne pose pas de problème avec ce nombre. L’équation initiale, elle, en pose un. En regroupant les logarithmes, nous avons élargi l’équation à des nombres pour lesquels l’équation initiale n’a pas de sens.

Vérification pour x = 4 : log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Cela concorde : l’équation a donc une seule solution, x = 4.

Changement de variable

Parfois, une équation contient un logarithme au carré :

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

L’écriture log² x signifie (log x)², donc d’abord le logarithme, puis le carré, et non log(x²). La seule condition est x>0.

À première vue, cela paraît redoutable, mais de près c’est une équation du second degré déguisée. Posons le changement de variable a = log x :

$$a^2-3a+2=0$$

On factorise en (a − 1)(a − 2) = 0, donc a = 1 ou a = 2. Nous n’avons pas encore fini, car nous cherchons x et non a. Revenons donc au changement de variable :

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Les deux racines sont strictement positives, elles satisfont donc la condition. Vérification pour x = 100 : log 100 = 2, donc 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Pour x = 10, on obtient 1 − 3 + 2 = 0. L’équation admet deux solutions, x = 10 et x = 100.