Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita suele esconderse en el argumento de un logaritmo. La más sencilla tiene este aspecto:

$${\log }_{2}x=3$$

El logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el argumento. La ecuación, por tanto, pregunta: ¿a qué hay que elevar el dos para obtener x? Al tres. Así que

$$x=2^3=8.$$

Lo mismo nos muestra la gráfica. Buscamos el punto en el que la gráfica de la función y = log₂ x corta a la recta horizontal y = 3:

La función log₂ x es creciente, así que corta a la recta una sola vez y la ecuación tiene una única solución. En eso consiste todo el secreto de las ecuaciones logarítmicas: intentamos transformarlas hasta que a un lado quede un solo logaritmo y al otro un número, o también un solo logaritmo. Es un truco parecido al de las ecuaciones exponenciales, donde buscábamos bases iguales.

Condiciones

El logaritmo solo existe para números positivos. ¿Cuánto vale log₂(−4)? ¿A qué hay que elevar el dos para obtener −4? A nada, porque una potencia de dos siempre es positiva. De aquí se deduce que el argumento de cada logaritmo de la ecuación tiene que ser positivo.

Las transformaciones que vamos a hacer con los logaritmos, sin embargo, no siempre son equivalentes y pueden perder esta condición sin que nos demos cuenta. Entonces sale una solución para la que la ecuación original no tiene ningún sentido. El error típico: resolver la ecuación de forma mecánica, copiar todas las soluciones y no comprobar si se pueden sustituir en un logaritmo.

Podemos protegernos de dos maneras:

• al principio, determinar las condiciones, es decir, el dominio de la ecuación, y al final descartar las soluciones que no pertenezcan a él,
• o al final hacer la comprobación y sustituir cada solución en la ecuación original.

La comprobación es más segura, porque descubre también un simple error de cálculo. Además, en las ecuaciones logarítmicas suele ser corta, así que conviene hacerla siempre.

Quitar logaritmos

Si conseguimos transformar la ecuación a la forma

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

donde a ambos lados hay logaritmos de la misma base, podemos simplemente «tacharlos» y resolver la ecuación

$$f(x)=g(x).$$

Está permitido porque el logaritmo es creciente cuando la base es mayor que uno y decreciente cuando es menor, de modo que toma el mismo valor solo para el mismo argumento. Este paso se llama quitar logaritmos. Pero ojo: solo se puede tachar cuando a cada lado hay un único logaritmo y nada más. De la ecuación log x + log 3 = log 12 no resulta, tachando, x + 3 = 12. Primero hay que juntar el lado izquierdo en un solo logaritmo, como veremos en la siguiente sección, y solo entonces sale x = 4.

Ahora lo probamos con un ejemplo:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Recuerda que log sin base significa logaritmo decimal, es decir, el logaritmo de base diez. La base es la misma a ambos lados, así que quitamos los logaritmos y el resto es una simple ecuación de primer grado:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Comprobación: a la izquierda sale log(2 · 4 + 3) = log 11 y a la derecha log(4 + 7) = log 11. Coincide, los dos argumentos son positivos, así que la solución es x = 4.

Propiedades de los logaritmos

A menudo hay varios logaritmos a un lado. Entonces tenemos que juntarlos en uno solo con las propiedades de los logaritmos. Veamos la ecuación

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Primero, las condiciones. Tiene que cumplirse x>0 y a la vez x − 2>0, es decir, en conjunto x>2.

La suma de logaritmos de la misma base es el logaritmo del producto, log_a u + log_a v = log_a(u · v), siempre que u y v sean positivos. Juntamos, pues, el lado izquierdo:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Ahora estamos otra vez como al principio: a la izquierda un solo logaritmo y a la derecha un número, así que basta usar la definición:

$$x(x-2)=2^3$$

Multiplicamos el paréntesis y pasamos el ocho al lado izquierdo:

$$x^2-2x-8=0$$

Esta ya es una ecuación de segundo grado. Descomponemos el lado izquierdo en el producto (x − 4)(x + 2) = 0, lo que da dos soluciones:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Trampa. El número −2 no cumple la condición x>2 y no se puede sustituir en la ecuación original, porque log₂(−2) no existe. ¿De dónde ha salido? De juntar los logaritmos. La expresión x(x − 2) vale ocho para x = −2, es decir, es positiva, así que la ecuación transformada no tiene ningún problema con ella. La original sí. Al juntar los logaritmos hemos ampliado la ecuación con números para los que la original no tiene sentido.

Comprobación para x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Coincide, así que la ecuación tiene una única solución, x = 4.

Cambio de variable

A veces en la ecuación aparece un logaritmo al cuadrado:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

La notación log² x significa (log x)², es decir, primero el logaritmo y después el cuadrado, no log(x²). La condición es solo x>0.

A primera vista parece aterrador, pero de cerca es una ecuación de segundo grado disfrazada. Hacemos el cambio de variable a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Descomponemos en (a − 1)(a − 2) = 0, de modo que a = 1 o a = 2. Todavía no hemos terminado: buscamos x, no a. Deshacemos, pues, el cambio de variable:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Las dos soluciones son positivas, así que cumplen la condición. Comprobación para x = 100: log 100 = 2, luego 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Para x = 10 sale 1 − 3 + 2 = 0. La ecuación tiene dos soluciones, x = 10 y x = 100.