Logaritmiyhtälöt

Logaritmiyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon on yleensä piilossa logaritmin argumentissa. Yksinkertaisimmillaan se näyttää esimerkiksi tältä:

$${\log }_{2}x=3$$

Logaritmi on eksponentti, johon kantaluku täytyy korottaa, jotta saadaan argumentti. Yhtälö siis kysyy: mihin potenssiin kakkonen täytyy korottaa, jotta saadaan x? Kolmanteen. Siis

$$x=2^3=8.$$

Saman näyttää myös kuvaaja. Etsitään kohta, jossa funktion y = log₂ x kuvaaja leikkaa vaakasuoran suoran y = 3:

Funktio log₂ x on aidosti kasvava, joten se leikkaa suoran vain kerran ja yhtälöllä on vain yksi ratkaisu. Tässä on logaritmiyhtälöiden koko salaisuus: kaikki yritetään muokata muotoon, jossa toisella puolella on yksi logaritmi ja toisella luku tai myös yksi logaritmi. Temppu on samanlainen kuin eksponenttiyhtälöissä, joissa etsittiin samoja kantalukuja.

Ehdot

Logaritmi on määritelty vain positiivisille luvuille. Mikä on log₂(−4)? Mihin potenssiin kakkonen pitäisi korottaa, jotta tulisi −4? Ei mihinkään, sillä kakkosen potenssi on aina positiivinen. Tästä seuraa, että yhtälön jokaisen logaritmin argumentin täytyy olla positiivinen.

Muunnokset, joita logaritmeille tehdään, eivät kuitenkaan aina ole yhtäpitäviä, ja ne voivat hiljaa hukata tämän ehdon. Silloin saadaan juuri, jolle alkuperäinen yhtälö ei ole lainkaan mielekäs. Tyypillinen virhe: yhtälö lasketaan mekaanisesti, kaikki juuret kirjoitetaan vastaukseksi eikä tarkisteta, voiko luvun ylipäätään sijoittaa logaritmiin.

Tältä voi suojautua kahdella tavalla:

• alussa määritetään ehdot eli yhtälön määrittelyjoukko, ja lopussa hylätään juuret, jotka eivät kuulu siihen,
• tai lopussa tehdään tarkistus ja sijoitetaan jokainen juuri alkuperäiseen yhtälöön.

Tarkistus on varmempi, koska se paljastaa myös tavallisen laskuvirheen. Logaritmiyhtälöissä se on lisäksi yleensä lyhyt, joten se kannattaa tehdä joka kerta.

Logaritmin poistaminen

Jos yhtälö saadaan muokattua muotoon

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

jossa molemmilla puolilla on samakantaiset logaritmit, ne voidaan yksinkertaisesti ”yliviivata” ja ratkaista yhtälö

$$f(x)=g(x).$$

Se on sallittua, koska logaritmifunktio on aidosti kasvava, kun kantaluku on suurempi kuin yksi, ja aidosti vähenevä, kun kantaluku on pienempi. Sama arvo saadaan siis vain samalla argumentilla. Tätä vaihetta kutsutaan logaritmin poistamiseksi. Huomaa kuitenkin: yliviivaus on sallittua vasta, kun kummallakin puolella on vain yksi logaritmi eikä mitään muuta. Yhtälöstä lg x + lg 3 = lg 12 ei saada yliviivaamalla yhtälöä x + 3 = 12. Vasen puoli täytyy ensin yhdistää yhdeksi logaritmiksi, kuten seuraavassa osassa nähdään, ja vasta sitten saadaan x = 4.

Kokeillaan tätä nyt esimerkillä:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Muistutetaan, että lg ilman kantalukua tarkoittaa kymmenkantaista logaritmia eli logaritmia, jonka kantaluku on kymmenen. Kantaluku on molemmilla puolilla sama, joten logaritmit voidaan poistaa, ja loppu on tavallinen ensimmäisen asteen yhtälö:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Tarkistus: vasemmalla saadaan lg(2 · 4 + 3) = lg 11, oikealla lg(4 + 7) = lg 11. Täsmää, molemmat argumentit ovat positiivisia, joten ratkaisu on x = 4.

Logaritmin laskusäännöt

Usein yhtälön yhdellä puolella on useita logaritmeja. Silloin ne täytyy yhdistää yhdeksi logaritmin laskusääntöjen avulla. Tarkastellaan yhtälöä

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Ensin ehdot. Täytyy olla x>0 ja samalla x − 2>0, eli yhdessä x>2.

Samakantaisten logaritmien summa on tulon logaritmi, log_a u + log_a v = log_a(u · v), kun sekä u että v ovat positiivisia. Yhdistetään siis vasen puoli:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Nyt ollaan taas alussa: vasemmalla puolella on yksi logaritmi ja oikealla luku, joten riittää käyttää määritelmää:

$$x(x-2)=2^3$$

Kerrotaan sulku auki ja siirretään kahdeksan vasemmalle puolelle:

$$x^2-2x-8=0$$

Tämä on jo toisen asteen yhtälö. Vasen puoli jaetaan tekijöihin: (x − 4)(x + 2) = 0. Saadaan kaksi juurta:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Ansa. Luku −2 ei toteuta ehtoa x>2, eikä sitä voi sijoittaa alkuperäiseen yhtälöön, koska log₂(−2) ei ole olemassa. Mistä se tuli? Logaritmien yhdistämisestä. Lausekkeen x(x − 2) arvo on kahdeksan, kun x = −2, joten se on positiivinen, eikä muokatulla yhtälöllä ole sen kanssa ongelmaa. Alkuperäisellä yhtälöllä sen sijaan on. Yhdistämällä logaritmit yhtälöön lisättiin lukuja, joille alkuperäinen yhtälö ei ole mielekäs.

Tarkistus, kun x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Täsmää, joten yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, x = 4.

Sijoitus

Joskus yhtälössä esiintyy logaritmin neliö:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Merkintä lg² x tarkoittaa (lg x)², eli ensin otetaan logaritmi ja vasta sitten neliö, ei lg(x²). Ehtona on vain x>0.

Ensi silmäyksellä tämä näyttää pelottavalta, mutta läheltä katsottuna se on valepukuun puettu toisen asteen yhtälö. Tehdään sijoitus a = lg x:

$$a^2-3a+2=0$$

Jaetaan tekijöihin (a − 1)(a − 2) = 0, joten a = 1 tai a = 2. Tehtävä ei ole vielä valmis, sillä etsitään lukua x, ei lukua a. Palataan siis alkuperäiseen muuttujaan:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Molemmat juuret ovat positiivisia, joten ehto toteutuu. Tarkistus, kun x = 100: lg 100 = 2, joten 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Kun x = 10, saadaan 1 − 3 + 2 = 0. Yhtälöllä on kaksi ratkaisua, x = 10 ja x = 100.