Logaritmische vergelijkingen

Een logaritmische vergelijking is een vergelijking waarin de onbekende meestal in het argument van een logaritme zit. De eenvoudigste ziet er bijvoorbeeld zo uit:

$${}^2\log x=3$$

De logaritme is de exponent waartoe we het grondtal moeten verheffen om het argument te krijgen. De vergelijking vraagt dus: tot welke macht moeten we twee verheffen om x te krijgen? Tot de derde. Dus

$$x=2^3=8.$$

Hetzelfde laat de grafiek zien. We zoeken de plaats waar de grafiek van de functie y = {}²log x de horizontale lijn y = 3 snijdt:

De functie {}²log x is strikt stijgend, dus ze snijdt de lijn maar één keer en de vergelijking heeft één oplossing. Daarin zit het hele geheim van logaritmische vergelijkingen: we proberen alles om te zetten naar een vorm waarin aan de ene kant één logaritme staat en aan de andere kant een getal of ook één logaritme. Het is een vergelijkbare truc als bij exponentiële vergelijkingen, waar we gelijke grondtallen zochten.

Voorwaarden

Een logaritme bestaat alleen voor positieve getallen. Wat is {}²log(−4)? Tot welke macht moet je twee verheffen om −4 te krijgen? Tot geen enkele, een macht van twee is altijd positief. Hieruit volgt dat het argument van elke logaritme in de vergelijking positief moet zijn.

De bewerkingen die we met logaritmen gaan doen, zijn echter niet altijd equivalent en kunnen deze voorwaarde ongemerkt kwijtraken. Dan krijgen we een oplossing waarvoor de oorspronkelijke vergelijking helemaal geen betekenis heeft. Een typische fout: de vergelijking mechanisch uitrekenen, alle oplossingen overnemen en niet controleren of je ze wel in de logaritme mag invullen.

Hiertegen kunnen we ons op twee manieren beschermen:

• aan het begin de voorwaarden bepalen, dus het domein van de vergelijking, en aan het eind de oplossingen schrappen die er niet in liggen,
• of aan het eind een controle uitvoeren en elke oplossing in de oorspronkelijke vergelijking invullen.

De controle is zekerder, omdat ze ook een gewone rekenfout aan het licht brengt. Bij logaritmische vergelijkingen is ze bovendien meestal kort, dus loont ze altijd.

Logaritmen weglaten

Als het lukt de vergelijking te herleiden tot de vorm

$${}^a\log f(x)={}^a\log g(x),$$

waarbij aan beide kanten logaritmen met hetzelfde grondtal staan, kunnen we ze eenvoudig “wegstrepen” en de vergelijking oplossen

$$f(x)=g(x).$$

Dat mag omdat de logaritme voor een grondtal groter dan één stijgend is en voor een kleiner grondtal dalend, dus dezelfde waarde alleen voor hetzelfde argument geeft. Deze stap heet logaritmen weglaten. Maar pas op: wegstrepen mag pas als aan elke kant één logaritme staat en verder niets. Uit de vergelijking log x + log 3 = log 12 ontstaat door wegstrepen niet x + 3 = 12. De linkerkant moet eerst tot één logaritme worden samengevoegd, zoals we in het volgende deel laten zien, en pas dan krijgen we x = 4.

Nu proberen we het met een voorbeeld:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

We herinneren eraan dat log zonder grondtal de logaritme met grondtal tien betekent. Het grondtal is aan beide kanten gelijk, dus we laten de logaritmen weg en de rest is een gewone lineaire vergelijking:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Controle: links krijgen we log(2 · 4 + 3) = log 11, rechts log(4 + 7) = log 11. Het klopt, beide argumenten zijn positief, dus de oplossing is x = 4.

Rekenregels voor logaritmen

Vaak staan er aan een kant meer logaritmen. Die moeten we dan met de rekenregels voor logaritmen tot één samenvoegen. We bekijken de vergelijking

$${}^2\log x+{}^2\log (x-2)=3.$$

Eerst de voorwaarden. Er moet gelden x>0 en tegelijk x − 2>0, dus samen x>2.

De som van logaritmen met hetzelfde grondtal is de logaritme van het product, {}^alog u+{}^alog v = {}^alog(u · v), als u en v positief zijn. De linkerkant voegen we dus samen:

$${}^2\log (x(x-2))=3$$

Nu zijn we weer terug bij het begin: aan de linkerkant één logaritme, aan de rechterkant een getal, dus we hoeven alleen de definitie toe te passen:

$$x(x-2)=2^3$$

We werken de haakjes uit en brengen de acht naar de linkerkant:

$$x^2-2x-8=0$$

Dit is al een kwadratische vergelijking. De linkerkant ontbinden we in factoren (x − 4)(x + 2) = 0, wat twee oplossingen geeft:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Een addertje onder het gras. Het getal −2 voldoet niet aan de voorwaarde x>2, we kunnen het niet in de oorspronkelijke vergelijking invullen, omdat {}²log(−2) niet bestaat. Waar komt het vandaan? Van het samenvoegen van de logaritmen. De uitdrukking x(x − 2) heeft voor x = −2 de waarde acht, is dus positief, dus de herleide vergelijking heeft er geen probleem mee. De oorspronkelijke wel. Door de logaritmen samen te voegen hebben we de vergelijking uitgebreid met getallen waarvoor de oorspronkelijke geen betekenis heeft.

Controle voor x = 4: {}²log 4+{}²log 2 = 2 + 1 = 3. Het klopt, dus de vergelijking heeft één oplossing, x = 4.

Substitutie

Soms komt in de vergelijking een logaritme in het kwadraat voor:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

De notatie log² x betekent (log x)², dus eerst de logaritme en pas daarna het kwadraat, niet log(x²). De voorwaarde is alleen x>0.

Op het eerste gezicht ziet dit er angstaanjagend uit, maar van dichtbij is het een verklede kwadratische vergelijking. We voeren de substitutie a = log x in:

$$a^2-3a+2=0$$

We ontbinden in factoren tot (a − 1)(a − 2) = 0, dus a = 1 of a = 2. We zijn nog niet klaar, we zoeken immers x, niet a. We gaan dus terug naar de substitutie:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Beide oplossingen zijn positief, dus ze voldoen aan de voorwaarde. Controle voor x = 100: log 100 = 2, dus 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Voor x = 10 krijgen we 1 − 3 + 2 = 0. De vergelijking heeft twee oplossingen, x = 10 en x = 100.