Logaritmekvationer

En logaritmekvation är en ekvation där den obekanta oftast gömmer sig i argumentet till en logaritm. Den enklaste ser till exempel ut så här:

$${\log }_{2}x=3$$

Logaritmen är det tal som basen måste upphöjas till för att ge argumentet. Ekvationen frågar alltså: vad måste vi upphöja tvåan till för att få x? Tre. Alltså är

$$x=2^3=8.$$

Det visar också grafen. Vi söker den punkt där grafen till funktionen y = log₂ x skär den vågräta linjen y = 3:

Funktionen log₂ x är strängt växande, så den skär linjen bara en gång och ekvationen har en enda lösning. Där ligger hela hemligheten med logaritmekvationer: vi försöker skriva om allt till en form med en logaritm på ena sidan och ett tal på den andra, eller också en logaritm. Det är ett knep som liknar det vi använde för exponentialekvationer, där vi sökte samma baser.

Villkor

Logaritmer finns bara för positiva tal. Hur mycket är log₂(−4)? Vad ska tvåan upphöjas till för att få −4? Till ingenting, en potens av två är alltid positiv. Därav följer att argumentet till varje logaritm i ekvationen måste vara positivt.

De omskrivningar som vi gör med logaritmer är dock inte alltid ekvivalenta och kan tyst tappa bort det här villkoret. Då får vi en rot för vilken den ursprungliga ekvationen inte alls är meningsfull. Ett typiskt fel är att lösa ekvationen mekaniskt, skriva av alla rötter och inte kontrollera om de alls får sättas in i logaritmen.

Det finns två sätt att skydda sig mot det:

• i början ställer vi upp villkoren, alltså ekvationens definitionsmängd, och i slutet sorterar vi bort de rötter som inte hör dit,
• eller så gör vi en kontroll i slutet och sätter in varje rot i den ursprungliga ekvationen.

Kontrollen är säkrare, eftersom den avslöjar också ett vanligt räknefel. Dessutom brukar den vara kort för logaritmekvationer, så den lönar sig varje gång.

Att ta bort logaritmerna

Om vi lyckas skriva om ekvationen till formen

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

där det står logaritmer med samma bas på båda sidor, kan vi helt enkelt ”stryka” dem och lösa ekvationen

$$f(x)=g(x).$$

Det är tillåtet därför att logaritmen är strängt växande för en bas större än ett och strängt avtagande för en bas mindre än ett, så den ger samma värde bara för samma argument. Det här steget kallas att ta bort logaritmerna. Men observera: vi får stryka först när det står en enda logaritm på varje sida och inget annat. Ur ekvationen lg x + lg 3 = lg 12 blir det inte x + 3 = 12 om vi stryker. Vänsterledet måste först slås ihop till en enda logaritm, vilket vi visar i nästa avsnitt, och först då får vi x = 4.

Nu provar vi det på ett exempel:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Kom ihåg att lg betecknar tiologaritmen, alltså logaritmen med basen tio. Basen är lika på båda sidor, så vi tar bort logaritmerna, och resten är en vanlig linjär ekvation:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Kontroll: i vänsterledet får vi lg(2 · 4 + 3) = lg 11, i högerledet lg(4 + 7) = lg 11. Det stämmer, båda argumenten är positiva, så lösningen är x = 4.

Logaritmlagarna

Ofta står det flera logaritmer på ena sidan. Då måste vi slå ihop dem till en enda med hjälp av logaritmlagarna. Titta på ekvationen

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Först villkoren. Det måste gälla att x>0 och samtidigt x − 2>0, alltså sammanlagt x>2.

En summa av logaritmer med samma bas är logaritmen av produkten, log_a u + log_a v = log_a(u · v), om både u och v är positiva. Vänsterledet slår vi alltså ihop:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Nu är vi åter i början: en logaritm i vänsterledet och ett tal i högerledet, så det räcker att använda definitionen:

$$x(x-2)=2^3$$

Vi multiplicerar in i parentesen och flyttar åttan till vänsterledet:

$$x^2-2x-8=0$$

Det här är redan en andragradsekvation. Vi faktoriserar vänsterledet till produkten (x − 4)(x + 2) = 0, vilket ger två rötter:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Här är fällan. Talet −2 uppfyller inte villkoret x>2 och kan inte sättas in i den ursprungliga ekvationen, eftersom log₂(−2) inte finns. Var kom det ifrån? Från sammanslagningen av logaritmerna. Uttrycket x(x − 2) har värdet åtta för x = −2, så det är positivt, och den omskrivna ekvationen har därför inget problem med det. Men den ursprungliga har det. När vi slog ihop logaritmerna utvidgade vi ekvationen med tal för vilka den ursprungliga ekvationen inte är meningsfull.

Kontroll för x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Det stämmer, så ekvationen har en enda lösning, x = 4.

Substitution

Ibland dyker det upp en logaritm i kvadrat i ekvationen:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Beteckningen lg² x betyder (lg x)², alltså först logaritmen och sedan kvadraten, inte lg(x²). Villkoret är bara x>0.

Vid första anblicken ser det hotfullt ut, men vid närmare påseende är det en förklädd andragradsekvation. Vi inför substitutionen a = lg x:

$$a^2-3a+2=0$$

Vi faktoriserar till (a − 1)(a − 2) = 0, så a = 1 eller a = 2. Vi är inte klara än, vi söker ju x, inte a. Vi går därför tillbaka till substitutionen:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Båda rötterna är positiva, så de uppfyller villkoret. Kontroll för x = 100: lg 100 = 2, så 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. För x = 10 får vi 1 − 3 + 2 = 0. Ekvationen har två lösningar, x = 10 och x = 100.