Nerovnice v součinovém a podílovém tvaru

Součin několika čísel je kladný, když v něm není žádná nula a záporných činitelů je sudý počet. Minus krát minus je plus, takže se záporní činitelé po dvojicích vyruší. Zbude-li jich lichý počet, je celý součin záporný. Na téhle jednoduché myšlence stojí řešení všech nerovnic, které mají na jedné straně součin nebo podíl a na druhé nulu.

Pokud jste četli článek o kvadratických nerovnicích, nerovnici (x − 1)(x + 3) > 0 už vyřešit umíte: najdete kořeny 1 a −3 a podíváte se, kde je výraz kladný. Teď uvidíte, že stejný postup poradí i s libovolným počtem činitelů, nejen se dvěma.

Metoda nulových bodů

Začneme touhle nerovnicí:

$$(x+2)(x-1)(x-3)>0.$$

Závorky roznásobovat nebudeme, dostali bychom kubický polynom a s tím se pracuje mnohem hůř. Součinový tvar je naopak to nejlepší, co nás mohlo potkat.

Nejdřív najdeme nulové body, tedy čísla, ve kterých je některý činitel roven nule. Každou závorku zvlášť položíme rovnou nule:

$$\begin{array}{rcl}x+2& =& 0\Rightarrow x=-2\\ x-1& =& 0\Rightarrow x=1\\ x-3& =& 0\Rightarrow x=3\end{array}$$

Nulové body rozdělí číselnou osu na čtyři intervaly: (−∞, −2), (−2, 1), (1, 3) a (3, ∞). Uvnitř každého z nich žádná závorka nulu nepřekročí, a proto ani nezmění znaménko. Stačí tedy z každého intervalu vybrat jedno číslo a zjistit, jaká znaménka mají jednotlivé závorky.

• Z intervalu (−∞, −2) zkusíme třeba x = −3. Všechny tři závorky jsou záporné: (−1) · (−4) · (−6). Tři záporní činitelé jsou lichý počet, takže součin vyjde záporný.
• Z intervalu (−2, 1) dosadíme nulu: 2 · (−1) · (−3). Dva záporní činitelé, součin je kladný.
• Z intervalu (1, 3) poslouží dvojka: 4 · 1 · (−1). Jeden záporný činitel, součin je záporný.
• Z intervalu (3, ∞) vyzkoušíme desítku: všechny závorky jsou kladné, a tedy i součin.

Přehledně to ukazuje tabulka znamének. V každém řádku je jedna závorka, dole celý součin a červeně intervaly, kde je kladný:

Hledáme, kdy je součin větší než nula. Samotné nulové body do řešení nepatří, protože v nich je součin roven nule a nula není větší než nula. Řešením je

$$x\in (-2,1)\cup (3,\mathrm{\infty }).$$

Zkouška: pro x = 4 vyjde 6 · 3 · 1 = 18, a to je opravdu kladné číslo.

Stejný výsledek je vidět i na grafu funkce y = (x + 2)(x − 1)(x − 3). Graf protíná osu x právě v nulových bodech a mezi dvěma sousedními je celý nad osou, nebo celý pod ní. Tam, kde je nad osou, je součin kladný, a tyto části jsou červeně:

Znaménka se nemusí střídat

V předchozím příkladu se znaménka pravidelně střídala: minus, plus, minus, plus. To láká zjistit znaménko jen v jednom intervalu a ve zbytku ho pak automaticky prohazovat. Takhle radši ne. Podívejte se na nerovnici

$$(x-1{)}^2(x+2)\ge 0.$$

Nulové body jsou 1 a −2, máme tři intervaly. Vyzkoušíme po jednom čísle:

• x = −3: (−4)² · (−1) = 16 · (−1) = −16, záporné,
• x = 0: (−1)² · 2 = 2, kladné,
• x = 2: 1² · 4 = 4, kladné.

Při průchodu jedničkou se znaménko nezměnilo. Je to kvůli druhé mocnině: (x − 1)² je druhá mocnina, a ta je vždycky kladná nebo nulová, ať je uvnitř cokoliv. Činitel se sudou mocninou proto znaménko součinu nikdy neobrátí. Kdybychom znaménka jen střídali, v posledním intervalu by nám vyšlo minus a přišli bychom o pořádný kus řešení.

Výraz je tedy kladný na (−2, 1) a na (1, ∞). Jenže nerovnice říká „větší nebo rovno“, takže přibereme i body, kde je výraz roven nule. To jsou oba nulové body, −2 i 1. Jednička tak do řešení patří díky rovnosti a dva intervaly se slijí v jeden:

$$x\in ⟨-2,\mathrm{\infty }).$$

Pozor na ostrou nerovnost: u (x − 1)²(x + 2) > 0 by jednička do řešení nepatřila a vyšlo by (−2, 1) ∪ (1, ∞), tedy interval s dírou.

Podílový tvar

Se zlomkem se zachází úplně stejně, protože podíl má stejné znaménko jako součin: kladný je, pokud mají čitatel a jmenovatel stejné znaménko. Vyřešíme nerovnici

$$\frac{x+2}{x-4}\le 0.$$

Nulové body najdeme v čitateli i ve jmenovateli: x = −2 a x = 4. Dosadíme po jednom čísle z každého intervalu:

• x = −3: $\frac{-1}{-7}$, kladné,
• x = 0: $\frac{2}{-4}$, záporné,
• x = 5: $\frac{7}{1}$, kladné.

Hledáme záporné hodnoty nebo nulu. Záporný je zlomek na intervalu (−2, 4). Nula vyjde, když je nulový čitatel, tedy pro x = −2, a to do řešení patří. Čtyřka ale nepatří nikdy, ať v nerovnici stojí jakékoliv znaménko. Pro x = 4 by byl ve jmenovateli nula a nulou dělit nejde. Nulové body jmenovatele proto vždycky vyřadíme.

Na obrázku to poznáte podle kroužků. Plný kroužek u −2 znamená, že číslo do řešení patří, prázdný u čtyřky, že ne. Výsledek zní

$$x\in ⟨-2,4).$$

Nenásobte jmenovatelem

Metoda nulových bodů funguje, jen když je na jedné straně nerovnice nula. Vezměme nerovnici

$$\frac{2x-1}{x+1}\ge 1.$$

Hrozně svádí vynásobit ji jmenovatelem x + 1, dostat 2x − 1 ≥ x + 1 a z toho x ≥ 2. Jenže nevíme, jestli je x + 1 kladné, nebo záporné, a při násobení záporným číslem by se otáčelo znaménko nerovnosti. Proto to nebyla ekvivalentní úprava a část řešení nám zmizela. Víc se o tom dočtete v článku o lineárních nerovnicích.

Správně převedeme všechno na jednu stranu:

$$\frac{2x-1}{x+1}-1\ge 0$$

Jedničku zapíšeme jako zlomek se stejným jmenovatelem:

$$\frac{2x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\ge 0$$

A zlomky odečteme:

$$\frac{x-2}{x+1}\ge 0$$

Nulové body jsou 2 a −1. Pro x = −2 vyjde $\frac{-4}{-1}=4$, kladné. Pro x = 0 vyjde $\frac{-2}{1}$, záporné. Pro x = 3 vyjde $\frac{1}{4}$, kladné. Dvojka do řešení patří (zlomek je tam roven nule), minus jednička ne, protože je nulovým bodem jmenovatele. Celé řešení tedy je

$$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup ⟨2,\mathrm{\infty }).$$

Že nám násobení jmenovatelem opravdu něco sebralo, ověříme dosazením x = −2 do původní nerovnice: $\frac{-5}{-1}=5$ a pět je větší než jedna. Sedí.