Equazioni logaritmiche

Un’equazione logaritmica è un’equazione in cui l’incognita si nasconde di solito nell’argomento di un logaritmo. La più semplice è per esempio questa:

$${\log }_{2}x=3$$

Il logaritmo è l’esponente a cui dobbiamo elevare la base per ottenere l’argomento. L’equazione chiede dunque: a quanto dobbiamo elevare il due per ottenere x? A tre. Quindi

$$x=2^3=8.$$

Lo mostra anche il grafico. Cerchiamo il punto in cui il grafico della funzione y = log₂ x incontra la retta orizzontale y = 3:

La funzione log₂ x è crescente, quindi interseca la retta una volta sola e l’equazione ha un’unica soluzione. Qui sta tutto il segreto delle equazioni logaritmiche: cerchiamo di ricondurre tutto alla forma con un solo logaritmo da una parte e un numero, oppure anche un solo logaritmo, dall’altra. È un trucco simile a quello delle equazioni esponenziali, dove cercavamo basi uguali.

Condizioni di esistenza

Il logaritmo esiste solo per i numeri positivi. Quanto fa log₂(−4)? A quanto elevare il due per ottenere −4? A nessun numero, perché una potenza di due è sempre positiva. Ne segue che l’argomento di ogni logaritmo nell’equazione deve essere positivo.

Le trasformazioni che faremo con i logaritmi però non sono sempre equivalenti e questa condizione può andare persa senza che ce ne accorgiamo. Si ottiene allora una soluzione per cui l’equazione di partenza non ha proprio senso. L’errore tipico: risolvere l’equazione in modo meccanico, copiare tutte le soluzioni e non controllare se si possono davvero sostituire nel logaritmo.

Possiamo difenderci in due modi:

• all’inizio determinare le condizioni di esistenza, cioè il dominio dell’equazione, e alla fine scartare le soluzioni che non vi appartengono,
• oppure alla fine fare la verifica, sostituendo ogni soluzione nell’equazione di partenza.

La verifica è più sicura, perché scopre anche un semplice errore di calcolo. Nelle equazioni logaritmiche, inoltre, di solito è breve, quindi conviene farla sempre.

Eliminazione dei logaritmi

Se riusciamo a ridurre l’equazione alla forma

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

in cui da entrambe le parti ci sono logaritmi nella stessa base, possiamo semplicemente «cancellarli» e risolvere l’equazione

$$f(x)=g(x).$$

Possiamo farlo perché il logaritmo è crescente se la base è maggiore di uno e decrescente se è minore, quindi assume lo stesso valore solo per lo stesso argomento. Questo passaggio si chiama eliminazione dei logaritmi. Attenzione però: si può cancellare solo quando da ogni parte c’è un unico logaritmo e nient’altro. Dall’equazione log₁₀ x + log₁₀ 3 = log₁₀ 12 cancellando non si ottiene x + 3 = 12. Prima bisogna riunire il primo membro in un solo logaritmo, come vedremo nella parte successiva, e solo allora si ottiene x = 4.

Proviamo ora con un esempio:

$${\log }_{10}(2x+3)={\log }_{10}(x+7)$$

Ricorda che log₁₀ indica il logaritmo decimale, cioè il logaritmo in base dieci. La base è uguale da entrambe le parti, quindi eliminiamo i logaritmi e il resto è una normale equazione di primo grado:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Verifica: a sinistra otteniamo log₁₀(2 · 4 + 3) = log₁₀ 11, a destra log₁₀(4 + 7) = log₁₀ 11. Torna, entrambi gli argomenti sono positivi, quindi la soluzione è x = 4.

Proprietà dei logaritmi

Spesso da una parte ci sono più logaritmi. Allora dobbiamo riunirli in uno solo con le proprietà dei logaritmi. Vediamo l’equazione

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Prima le condizioni di esistenza. Deve valere x>0 e allo stesso tempo x − 2>0, quindi in totale x>2.

La somma di logaritmi nella stessa base è il logaritmo del prodotto, log_a u + log_a v = log_a(u · v), se u e v sono entrambi positivi. Riuniamo quindi il primo membro:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Ora siamo di nuovo all’inizio: a sinistra un solo logaritmo, a destra un numero, quindi basta usare la definizione:

$$x(x-2)=2^3$$

Eliminiamo la parentesi e portiamo l’otto a sinistra:

$$x^2-2x-8=0$$

Questa è già un’equazione di secondo grado. Scomponiamo il primo membro nel prodotto (x − 4)(x + 2) = 0, il che dà due soluzioni:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Attenzione, trabocchetto! Il numero −2 non soddisfa la condizione x>2 e non si può sostituire nell’equazione di partenza, perché log₂(−2) non esiste. Da dove è saltato fuori? Dall’unione dei logaritmi. L’espressione x(x − 2) per x = −2 vale otto, quindi è positiva e per l’equazione trasformata non è un problema. Quella di partenza invece sì. Unendo i logaritmi abbiamo esteso l’equazione a numeri per i quali quella di partenza non ha senso.

Verifica per x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Torna, quindi l’equazione ha un’unica soluzione, x = 4.

Sostituzione

A volte nell’equazione compare un logaritmo al quadrato:

$${\log }_{10}^{2}x-3{\log }_{10}x+2=0$$

La scrittura ${\log }_{10}^{2}x$ significa (log₁₀ x)², cioè prima il logaritmo e solo dopo il quadrato, non log₁₀(x²). La condizione di esistenza è soltanto x>0.

A prima vista sembra terribile, ma da vicino è un’equazione di secondo grado travestita. Introduciamo la sostituzione a = log₁₀ x:

$$a^2-3a+2=0$$

Scomponiamo in (a − 1)(a − 2) = 0, quindi a = 1 oppure a = 2. Non abbiamo ancora finito, perché cerchiamo x, non a. Torniamo quindi alla variabile originaria:

$${\log }_{10}x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$${\log }_{10}x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Entrambe le soluzioni sono positive, quindi soddisfano la condizione. Verifica per x = 100: log₁₀ 100 = 2, quindi 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Per x = 10 otteniamo 1 − 3 + 2 = 0. L’equazione ha due soluzioni, x = 10 e x = 100.