Equações logarítmicas

Uma equação logarítmica é uma equação em que a incógnita costuma se esconder no logaritmando de um logaritmo. A mais simples é, por exemplo, assim:

$${\log }_{2}x=3$$

O logaritmo é o expoente ao qual precisamos elevar a base para obter o logaritmando. A equação pergunta, portanto: a que potência precisamos elevar o dois para obter x? À terceira. Assim,

$$x=2^3=8.$$

O gráfico mostra o mesmo. Procuramos o ponto em que o gráfico da função y = log₂ x cruza a reta horizontal y = 3:

A função log₂ x é crescente, então cruza a reta apenas uma vez e a equação tem uma única solução. Nisso está todo o segredo das equações logarítmicas: tentamos levar tudo a uma forma em que, de um lado, há um logaritmo e, do outro, um número ou também um logaritmo. É um truque parecido com o das equações exponenciais, em que procurávamos bases iguais.

Condições de existência

O logaritmo só existe para números positivos. Quanto é log₂(−4)? A que potência elevar o dois para dar −4? A nenhuma, uma potência de dois é sempre positiva. Disso decorre que o logaritmando de todo logaritmo na equação deve ser positivo.

As transformações que faremos com logaritmos, porém, nem sempre são equivalentes e podem perder essa condição em silêncio. Aí aparece uma raiz para a qual a equação original nem sequer faz sentido. Erro típico: resolver a equação mecanicamente, copiar todas as raízes e não conferir se podemos de fato substituí-las no logaritmo.

Podemos nos defender disso de duas maneiras:

• no início, determinar as condições de existência, isto é, o domínio da equação, e, no final, descartar as raízes que não pertencem a ele,
• ou, no final, fazer a verificação e substituir cada raiz na equação original.

A verificação é mais segura, porque revela também um simples erro de cálculo. Nas equações logarítmicas ela costuma ser curta, então vale a pena sempre.

Eliminação dos logaritmos

Se conseguimos transformar a equação na forma

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

em que há logaritmos de mesma base nos dois membros, podemos simplesmente “cortá-los” e resolver a equação

$$f(x)=g(x).$$

Isso é permitido porque o logaritmo é crescente para base maior que um e decrescente para base menor, de modo que dá o mesmo valor apenas para o mesmo logaritmando. Esse passo se chama eliminação dos logaritmos. Mas atenção: só podemos cortar quando em cada membro há um único logaritmo e nada mais. Cortando na equação log x + log 3 = log 12, não obtemos x + 3 = 12. O primeiro membro precisa antes ser reunido em um único logaritmo, como mostraremos na próxima parte, e só então obtemos x = 4.

Agora vamos testar isso em um exemplo:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Lembremos que log sem base significa logaritmo decimal, isto é, logaritmo de base dez. A base é igual nos dois membros, então eliminamos os logaritmos e o resto é uma equação do 1º grau comum:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Verificação: no primeiro membro obtemos log(2 · 4 + 3) = log 11; no segundo, log(4 + 7) = log 11. Confere, os dois logaritmandos são positivos, então a solução é x = 4.

Propriedades dos logaritmos

Muitas vezes há vários logaritmos em um dos membros. Então precisamos reuni-los em um só com as propriedades dos logaritmos. Vejamos a equação

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Primeiro as condições de existência. Deve valer x>0 e, ao mesmo tempo, x − 2>0, ou seja, juntando as duas, x>2.

A soma de logaritmos de mesma base é o logaritmo do produto, log_a u + log_a v = log_a(u · v), se u e v são positivos. Reunimos, então, o primeiro membro:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Agora estamos de novo no começo: no primeiro membro um logaritmo, no segundo um número, então basta usar a definição:

$$x(x-2)=2^3$$

Desenvolvemos o parêntese e passamos o oito para o primeiro membro:

$$x^2-2x-8=0$$

Essa já é uma equação do 2º grau. Fatoramos o primeiro membro em produto (x − 4)(x + 2) = 0, o que dá duas raízes:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Pegadinha! O número −2 não satisfaz a condição x>2 e não dá para substituí-lo na equação original, porque log₂(−2) não existe. De onde ele veio? Da reunião dos logaritmos. A expressão x(x − 2) tem para x = −2 o valor oito, ou seja, é positiva, então a equação transformada não tem problema com ele. A original, porém, tem. Ao reunir os logaritmos, ampliamos a equação com números para os quais a original não faz sentido.

Verificação para x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Confere, então a equação tem uma única solução, x = 4.

Mudança de variável

Às vezes aparece na equação um logaritmo ao quadrado:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

A notação log² x significa (log x)², isto é, primeiro o logaritmo e só depois o quadrado, e não log(x²). A condição de existência é apenas x>0.

À primeira vista parece assustador, mas, de perto, é uma equação do 2º grau disfarçada. Fazemos a mudança de variável a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Fatoramos em (a − 1)(a − 2) = 0, então a = 1 ou a = 2. Ainda não terminamos: procuramos x, e não a. Voltamos, portanto, à mudança de variável:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

As duas raízes são positivas, então satisfazem a condição. Verificação para x = 100: log 100 = 2, então 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Para x = 10 resulta 1 − 3 + 2 = 0. A equação tem duas soluções, x = 10 e x = 100.