Iracionální rovnice

Iracionální rovnice je rovnice, ve které je neznámá schovaná pod odmocninou. Název neznamená, že by rovnice byla nerozumná, jen že se v ní objevují odmocniny, z nichž často vycházejí iracionální čísla. Třeba tahle:

$$\sqrt{x+3}=5$$

Odmocniny se zbavíme tak, že celou rovnici umocníme na druhou. Umocnění s odmocninou se vzájemně vyruší, protože ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+3}& =& 5{/}^2\\ x+3& =& 25/-3\\ x& =& 22\end{array}$$

Pro jistotu ještě uděláme zkoušku: výsledek dosadíme zvlášť do levé strany zadání (L) a zvlášť do pravé (P) a porovnáme je.

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{22+3}=\sqrt{25}=5\\ P& =& 5\end{array}$$

Vyšlo L = P, souhlasí. Tohle dosazení vypadá jako přehnaná pečlivost, jenže u iracionálních rovnic patří k výpočtu stejně jako samotné umocnění; bez ní výsledek nemáte. Celý postup se vejde do čtyř kroků: osamostatnit odmocninu, umocnit rovnici, dořešit, co nám vyjde, a nakonec provést zkoušku.

Proč je zkouška povinná

Umocnění není ekvivalentní úprava. Z rovnosti dvou čísel sice plyne rovnost jejich druhých mocnin, opačným směrem to ale nefunguje: 3 ≠ − 3, a přitom 3² = (−3)² = 9. Umocněním tak může vzniknout rovnice s víc řešeními, než měla ta původní. Podívejme se na rovnici

$$\sqrt{x+2}=x.$$

Obě strany umocníme a vše přehodíme na jednu stranu:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+2}& =& x{/}^2\\ x+2& =& x^2/-x-2\\ 0& =& x^2-x-2\end{array}$$

Dostali jsme kvadratickou rovnici. Rozkládá se na (x − 2)(x + 1) = 0, kořeny jsou tedy x = 2 a x = −1. Přichází na řadu zkouška, nejdřív s dvojkou:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\ P& =& 2\end{array}$$

Obě strany se rovnají, L = P, dvojka je tedy řešení. A co minus jednička?

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1\\ P& =& -1\end{array}$$

Vlevo vyšla jednička, vpravo minus jednička, takže L ≠ P. Minus jednička řešením není, přestože nám ji výpočet poctivě vyplivl. Rovnice má jediné řešení x = 2.

Odkud se ten falešný kořen vzal? Nejlépe to ukáže obrázek. Levá strana rovnice je funkce $y=\sqrt{x+2}$ (červeně), pravá strana přímka y = x (modře). Řešení rovnice je místo, kde se obě čáry protnou, a to je jen bod [2, 2], tedy x = 2.

Šedě čárkovaně je funkce $y=-\sqrt{x+2}$. Když umocníme $y=\sqrt{x+2}$ i $y=-\sqrt{x+2}$, minus zmizí a z obou je stejné y² = x + 2. Umocnění tedy slije rovnice $\sqrt{x+2}=x$ a $-\sqrt{x+2}=x$ do jedné a kvadratická rovnice pak najde průsečíky obou. Šedá křivka se s přímkou potká v bodě [−1, −1], a právě odtud pochází naše minus jednička. Takového vetřelce spolehlivě odhalí jedině zkouška.

Obrázek prozradí ještě něco: obě odmocniny, červená i šedá, začínají teprve v x = −2. Pod odmocninou nesmí být záporné číslo, takže rovnice má smysl jen pro x ≥ − 2. Falešná minus jednička do tohoto rozmezí spadá, podmínka ji proto nezachytí. Na světlo ji vytáhne až zkouška.

Nejdřív osamostatnit odmocninu

Pusťme se do další rovnice

$$\sqrt{2x-3}+3=x.$$

Strašně to svádí rovnou umocnit levou stranu i s trojkou. Jenže druhá mocnina součtu se nepočítá po členech, (a + b)² = a² + 2ab + b², takže by vyšlo

$${(\sqrt{2x-3}+3)}^2=2x-3+6\sqrt{2x-3}+9$$

a odmocnina by v rovnici stále číhala, jen v ošklivější podobě. Proto odmocninu nejdřív osamostatníme na jedné straně a umocňujeme až potom:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{2x-3}+3& =& x/-3\\ \sqrt{2x-3}& =& x-3{/}^2\\ 2x-3& =& x^2-6x+9/-2x+3\\ 0& =& x^2-8x+12\end{array}$$

Pravou stranu jsme umocnili stejným vzorcem, (x − 3)² = x² − 6x + 9. Kvadratická rovnice se rozkládá na (x − 6)(x − 2) = 0 s kořeny x = 6 a x = 2. Zkoušku začneme šestkou:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 6-3}+3=\sqrt{9}+3=6\\ P& =& 6\end{array}$$

Platí L = P, šestka vyhovuje. Teď dvojka:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{2\cdot 2-3}+3=\sqrt{1}+3=4\\ P& =& 2\end{array}$$

Čtyřka není dvojka, L ≠ P. Zrada. Řešením je jen x = 6.

Proč dvojka u zkoušky propadla? Po osamostatnění jsme měli $\sqrt{2x-3}=x-3$. Odmocnina nikdy není záporná, takže rovnice může platit jen pro x, u kterých je x − 3 aspoň nula. Pro x = 2 je pravá strana −1, a to žádná odmocnina nedá. Tuhle podmínku můžete ohlídat předem, jenže dosazení na konci je pohodlnější a zachytí všechno naráz.

Někdy zkouška nepropustí nic. Rovnice $\sqrt{x}+5=1$ se po osamostatnění změní na $\sqrt{x}=-4$. Po umocnění vyjde x = 16, jenže zkouška dá $L=\sqrt{16}+5=9$ a P = 1, tedy L ≠ P. Rovnice nemá žádné řešení, což mohlo být jasné už od začátku, protože odmocnina se minus čtyřem nikdy nerovná.

Dvě odmocniny

Jakmile se v rovnici sejdou dvě odmocniny, jedno umocnění zpravidla nestačí. Postup se ale nemění: osamostatnit, umocnit, a pokud odmocnina zbyde, celé kolečko zopakovat. Zkusme tuhle rovnici

$$\sqrt{x+5}-\sqrt{x}=1.$$

Obě odmocniny najednou osamostatnit nejde, tak aspoň přesuneme $\sqrt{x}$ doprava, ať je každá odmocnina na jiné straně. Kdybychom umocnili rozdíl vlevo, dostali bychom součin $\sqrt{x+5}\cdot \sqrt{x}$, a ten by nám řešení pořádně zkomplikoval. Takhle tedy umocníme:

$$\begin{array}{rcl}\sqrt{x+5}& =& 1+\sqrt{x}{/}^2\\ x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x\end{array}$$

Vpravo jsme opět umocnili dvojčlen, takže se tam objevil prostřední člen $2\sqrt{x}$. Iksy se naštěstí odečtou a zbyde jediná odmocnina:

$$\begin{array}{rcl}x+5& =& 1+2\sqrt{x}+x/-x-1\\ 4& =& 2\sqrt{x}/:2\\ 2& =& \sqrt{x}{/}^2\\ 4& =& x\end{array}$$

Umocnili jsme dvakrát, takže zkouška se tu hodí dvojnásob:

$$\begin{array}{rcl}L& =& \sqrt{4+5}-\sqrt{4}=3-2=1\\ P& =& 1\end{array}$$

L = P, sedí, rovnice má řešení x = 4.