Ecuații logaritmice

O ecuație logaritmică este o ecuație în care necunoscuta se ascunde, de obicei, în argumentul unui logaritm. Cea mai simplă arată, de exemplu, așa:

$${\log }_{2}x=3$$

Logaritmul este exponentul la care trebuie ridicată baza ca să obținem argumentul. Ecuația întreabă deci: la ce putere trebuie ridicat doi ca să obținem x? La a treia. Așadar

$$x=2^3=8.$$

Același lucru ni-l arată și graficul. Căutăm punctul în care graficul funcției y = log₂ x intersectează dreapta orizontală y = 3:

Funcția log₂ x este strict crescătoare, deci intersectează dreapta o singură dată, iar ecuația are o singură soluție. Aici stă tot secretul ecuațiilor logaritmice: încercăm să aducem totul la o formă în care într-o parte avem un singur logaritm, iar în cealaltă un număr sau tot un singur logaritm. Este un truc asemănător celui de la ecuațiile exponențiale, unde căutam baze egale.

Condiții de existență

Logaritmul există doar pentru numere pozitive. Cât este log₂(−4)? La ce putere trebuie ridicat doi ca să iasă −4? La niciuna, pentru că o putere a lui doi este întotdeauna pozitivă. De aici rezultă că argumentul fiecărui logaritm din ecuație trebuie să fie pozitiv.

Transformările pe care le vom face cu logaritmii nu sunt însă întotdeauna echivalente și pot pierde pe tăcute această condiție. Atunci iese o soluție pentru care ecuația inițială nu are deloc sens. Greșeala tipică: rezolvi ecuația mecanic, copiezi toate soluțiile și nu verifici dacă ai voie să le pui în logaritm.

Ne putem apăra în două feluri:

• la început stabilim condițiile de existență, adică domeniul de definiție al ecuației, iar la sfârșit eliminăm soluțiile care nu aparțin acestuia,
• sau la sfârșit facem verificarea și înlocuim fiecare soluție în ecuația inițială.

Verificarea este mai sigură, pentru că descoperă și o simplă greșeală de calcul. La ecuațiile logaritmice este, în plus, de obicei scurtă, așa că merită făcută de fiecare dată.

Eliminarea logaritmilor

Dacă reușim să aducem ecuația la forma

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

în care în ambele părți avem logaritmi cu aceeași bază, îi putem pur și simplu „tăia” și rezolva ecuația

$$f(x)=g(x).$$

Avem voie, deoarece logaritmul este strict crescător pentru baza mai mare decât unu și strict descrescător pentru baza mai mică decât unu, deci ia aceeași valoare doar pentru același argument. Acest pas se numește eliminarea logaritmilor. Atenție însă: avem voie să tăiem abia când în fiecare parte stă un singur logaritm și nimic altceva. Din ecuația lg x + lg 3 = lg 12 nu rezultă prin tăiere x + 3 = 12. Membrul stâng trebuie mai întâi contopit într-un singur logaritm, cum vom vedea în secțiunea următoare, și abia apoi iese x = 4.

Să încercăm pe un exemplu:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Să ne amintim că lg este logaritmul zecimal, adică logaritmul în baza zece. Baza este aceeași în ambele părți, deci eliminăm logaritmii, iar restul este o simplă ecuație de gradul întâi:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Verificare: în stânga obținem lg(2 · 4 + 3) = lg 11, în dreapta lg(4 + 7) = lg 11. Se potrivește, ambele argumente sunt pozitive, deci soluția este x = 4.

Proprietățile logaritmilor

Adesea într-o parte stau mai mulți logaritmi. Atunci trebuie să-i contopim într-unul singur cu ajutorul proprietăților logaritmilor. Să ne uităm la ecuația

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Mai întâi condițiile de existență. Trebuie să avem x>0 și totodată x − 2>0, deci împreună x>2.

Suma logaritmilor în aceeași bază este logaritmul produsului, log_a u + log_a v = log_a(u · v), dacă u și v sunt pozitive. Contopim deci membrul stâng:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Acum suntem iar la început: în stânga un singur logaritm, în dreapta un număr, așa că ajunge să folosim definiția:

$$x(x-2)=2^3$$

Desfacem paranteza și mutăm opt în membrul stâng:

$$x^2-2x-8=0$$

Aceasta este deja o ecuație de gradul al doilea. Descompunem membrul stâng în produsul (x − 4)(x + 2) = 0, ceea ce dă două soluții:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Capcană. Numărul −2 nu respectă condiția x>2, nu-l putem înlocui în ecuația inițială, pentru că log₂(−2) nu există. De unde a apărut? Din contopirea logaritmilor. Expresia x(x − 2) are pentru x = −2 valoarea opt, deci este pozitivă, așa că ecuația transformată nu are probleme cu ea. Cea inițială însă are. Contopind logaritmii, am extins ecuația cu numere pentru care cea inițială nu are sens.

Verificare pentru x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Se potrivește, deci ecuația are o singură soluție, x = 4.

Substituția

Uneori în ecuație apare un logaritm la pătrat:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Scrierea lg² x înseamnă (lg x)², adică mai întâi logaritmul și abia apoi ridicarea la pătrat, nu lg(x²). Condiția de existență este doar x>0.

La prima vedere pare înfricoșător, dar de aproape este o ecuație de gradul al doilea deghizată. Introducem substituția a = lg x:

$$a^2-3a+2=0$$

Descompunem în (a − 1)(a − 2) = 0, deci a = 1 sau a = 2. Nu am terminat încă, doar căutăm x, nu a. Ne întoarcem așadar la substituție:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Ambele soluții sunt pozitive, deci respectă condiția. Verificare pentru x = 100: lg 100 = 2, deci 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. Pentru x = 10 iese 1 − 3 + 2 = 0. Ecuația are două soluții, x = 10 și x = 100.