Exponenciální a logaritmické nerovnice

Exponenciální nerovnice je exponenciální rovnice, ve které je místo rovnítka znaménko nerovnosti. Třeba tahle:

$$2^x>8$$

Postup začíná stejně jako u rovnice. Osmičku zapíšeme jako mocninu dvojky:

$$2^x>2^3$$

U rovnice 2^x = 2³ bychom teď porovnali exponenty a vyšlo by x = 3. Proč to smíme? Funkce 2^x je rostoucí: čím větší exponent, tím větší mocnina. Žádnou hodnotu proto nenabývá dvakrát a dvě mocniny dvojky se rovnají jen tehdy, když mají stejný exponent. Stejná úvaha nám pomůže i u nerovnice, jen musíme navíc rozhodnout, kterým směrem. Dvojka na něco je větší než dvojka na třetí právě tehdy, když je to něco větší než tři:

$$x>3$$

Řešením je interval (3, ∞). Sedí to: 2⁴ = 16 je víc než osm, ale 2² = 4 už ne. Na obrázku je to ta část osy x, nad kterou je červený graf výš než zelená přímka.

Jinak dopadne nerovnice se základem menším než jedna, třeba ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$. Funkce ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ je klesající: čím větší exponent, tím víckrát násobíme jednou polovinou a tím menší číslo vyjde. Na obrázku je modře:

Nad přímku y = 8 vystoupí jen vlevo od −3, takže nerovnice ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>8$ má řešení x < −3. Znaménko se otočilo. Celé kouzlo exponenciálních nerovnic spočívá v tomto pravidle:

• základ větší než jedna: funkce je rostoucí a znaménko nerovnosti zůstane,
• základ mezi nulou a jedničkou: funkce je klesající a znaménko se otočí.

Základ menší než jedna

Pustíme se do nerovnice

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge 9.$$

Devítku musíme zapsat jako mocninu třetiny. Třetina na minus první dává tři, třetina na minus druhou devět:

$${\left(\frac{1}{3}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$$

Základy se shodují, jenže základ $\frac{1}{3}$ je menší než jedna. Exponenty tedy porovnáme a znaménko otočíme:

$$x\le -2$$

Řešením je interval (−∞, −2⟩. Ověříme na x = −3: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-3}=3^3=27$, což je skutečně víc než devět.

Nejčastější chyba u těchto příkladů zní: neotočil jsem znaménko. Kdo napíše x ≥ −2, tomu by vyhovovala třeba nula. Jenže ${\left(\frac{1}{3}\right)}^0=1$ a jednička je menší než devět.

Pokud se vám se zlomky v základu nepracuje dobře, můžete $\frac{1}{3}$ přepsat na 3⁻¹. Nerovnice pak zní 3^−x ≥ 3², tedy −x ≥ 2. Základ je tentokrát větší než jedna a znaménko zůstane, jenže při dělení minus jedničkou se otočí podle pravidel pro úpravy nerovnic. Vyjde opět x ≤ −2. Znaménko se otočí tak či tak.

Když nejde stejný základ

V nerovnici 3^x < 5 pětku jako mocninu trojky s celým exponentem nezapíšeme. Poradíme si stejně jako u rovnic: obě strany zlogaritmujeme, tentokrát logaritmem o základu tři. Ten je rostoucí, znaménko se tedy nezmění: log₃ 3^x < log₃ 5, tedy x < log₃ 5. Výsledek tak klidně necháme. Přibližnou polohu čísla odhalí nerovnost 3 < 5 < 9, takže log₃ 5 je mezi log₃ 3 = 1 a log₃ 9 = 2.

Logaritmické nerovnice

U logaritmických nerovnic platí stejné pravidlo o základu a přibývá jedna podmínka, kterou známe z logaritmických rovnic: argument logaritmu musí být kladný. Zkusme to na nerovnici

$${\log }_2(x-1)<3.$$

Nejdřív podmínka: x − 1>0, tedy x>1. Pak trojku zapíšeme jako logaritmus o základu dva, protože 2³ = 8:

$${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}8$$

Základ dva je větší než jedna, logaritmus je rostoucí a znaménko zůstane:

$$\begin{array}{rcl}x-1& <& 8/+1\\ x& <& 9\end{array}$$

Nakonec výsledek spojíme s podmínkou. Musí platit x>1 a zároveň x<9, takže řešením je interval (1, 9). Pro kontrolu vezmeme x = 5: log₂ 4 = 2, což je skutečně méně než tři.

Na obrázku je řešení vidět: červený graf je pod zelenou přímkou pro všechna x od jedničky do devítky. Vlevo od jedničky graf vůbec není, protože tam logaritmus neexistuje. To je ta podmínka x>1.

Tady se chybuje jinak než u exponenciálních nerovnic. Kdo na podmínku zapomene, napíše výsledek x<9. Do toho ale patří i nula a log₂(0 − 1) = log₂(−1) neexistuje. U rovnice by zapomenutou podmínku prozradila zkouška, jenže u nerovnice vychází nekonečně mnoho čísel a všechna dosadit nejdou. Podmínku proto píšeme vždy hned na začátek.

V posledním příkladu se potkají obě pasti:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>2$$

Podmínka je x>0. Dvojku zapíšeme jako logaritmus o základu jedna polovina, protože ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$$

Základ je menší než jedna, znaménko se tedy podruhé otočí:

$$x<\frac{1}{4}$$

S podmínkou x>0 dostaneme řešení $(0,\frac{1}{4})$. Ověříme třeba $x=\frac{1}{8}$: jedna polovina na třetí je jedna osmina, takže ${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{8}=3$, a to je opravdu víc než dva.