Logaritmelikninger

En logaritmelikning er en likning der den ukjente vanligvis gjemmer seg i argumentet til en logaritme. Den enkleste ser for eksempel slik ut:

$${\log }_{2}x=3$$

Logaritmen er eksponenten vi må opphøye grunntallet i for å få argumentet. Likningen spør altså: Hva må vi opphøye to i for å få x? I tredje. Altså

$$x=2^3=8.$$

Det samme viser også grafen. Vi leter etter stedet der grafen til funksjonen y = log₂ x skjærer den vannrette linjen y = 3:

Funksjonen log₂ x er strengt voksende, så den skjærer linjen bare én gang, og likningen har én eneste løsning. I det ligger hele hemmeligheten med logaritmelikninger: Vi prøver å gjøre om alt til en form der det på den ene siden står én logaritme og på den andre et tall eller også én logaritme. Det er et lignende triks som ved eksponentiallikninger, der vi lette etter like grunntall.

Forutsetninger

Logaritmen er bare definert for positive tall. Hva er log₂(−4)? Hva må vi opphøye to i for at det skal bli −4? Det finnes ikke noe slikt tall, en potens av to er alltid positiv. Av det følger at argumentet til hver logaritme i likningen må være positivt.

De omformingene vi gjør med logaritmer, er imidlertid ikke alltid ekvivalente, og de kan i det stille miste denne forutsetningen. Da får vi en løsning som den opprinnelige likningen ikke gir mening for i det hele tatt. Typisk feil: Å regne ut likningen mekanisk, skrive opp alle løsningene og ikke kontrollere om man i det hele tatt kan sette dem inn i logaritmen.

Mot det kan vi verge oss på to måter:

• i begynnelsen bestemme forutsetningene, altså definisjonsmengden til likningen, og til slutt forkaste løsningene som ikke hører til den,
• eller til slutt gjøre en prøve og sette hver løsning inn i den opprinnelige likningen.

Prøven er sikrere, fordi den også avslører en vanlig regnefeil. Ved logaritmelikninger er den dessuten ofte kort, så den lønner seg hver gang.

Å oppheve logaritmene

Hvis det lykkes å skrive om likningen til formen

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

der det på begge sider står logaritmer med samme grunntall, kan vi enkelt «stryke» dem og løse likningen

$$f(x)=g(x).$$

Det er lov fordi logaritmen er strengt voksende for grunntall større enn én og strengt avtagende for mindre, så den gir samme verdi bare for samme argument. Dette trinnet kaller vi å oppheve logaritmene. Men pass på: Vi får bare stryke når det på hver side står én eneste logaritme og ingenting annet. Fra likningen lg x + lg 3 = lg 12 får vi ikke x + 3 = 12 ved å stryke. Venstre side må først slås sammen til én logaritme, som vi viser i neste del, og først da får vi x = 4.

La oss nå prøve det på et eksempel:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Husk at lg uten grunntall betyr tierlogaritmen, altså logaritmen med grunntall ti. Grunntallet er det samme på begge sider, så vi opphever logaritmene, og resten er en vanlig lineær likning:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Prøve: På venstre side får vi lg(2 · 4 + 3) = lg 11, på høyre side lg(4 + 7) = lg 11. Det stemmer, begge argumentene er positive, så løsningen er x = 4.

Logaritmesetningene

Ofte står det flere logaritmer på den ene siden. Da må vi slå dem sammen til én ved hjelp av logaritmesetningene. La oss se på likningen

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Først forutsetningene. Det må gjelde x>0 og samtidig x − 2>0, altså til sammen x>2.

Summen av logaritmer med samme grunntall er logaritmen av produktet, log_a u + log_a v = log_a(u · v), hvis både u og v er positive. Venstre side slår vi altså sammen:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Nå er vi igjen i begynnelsen: På venstre side én logaritme, på høyre side et tall, så det holder å bruke definisjonen:

$$x(x-2)=2^3$$

Parentesen ganger vi ut, og åtte flytter vi over på venstre side:

$$x^2-2x-8=0$$

Dette er allerede en andregradslikning. Venstre side faktoriserer vi til produktet (x − 4)(x + 2) = 0, som gir to løsninger:

$$x_1=4,x_2=-2$$

En felle! Tallet −2 oppfyller ikke forutsetningen x>2, det kan ikke settes inn i den opprinnelige likningen, fordi log₂(−2) ikke eksisterer. Hvor kom det fra? Fra sammenslåingen av logaritmene. Uttrykket x(x − 2) har verdien åtte for x = −2, det er altså positivt, så den omformede likningen har ikke noe problem med det. Men den opprinnelige har det. Ved å slå sammen logaritmene har vi utvidet likningen med tall som den opprinnelige likningen ikke gir mening for.

Prøve for x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Det stemmer, så likningen har én løsning, x = 4.

Substitusjon

Noen ganger dukker det opp en logaritme i andre i likningen:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Skrivemåten lg² x betyr (lg x)², altså først logaritmen og deretter andre potens, ikke lg(x²). Forutsetningen er bare x>0.

Ved første øyekast ser det skremmende ut, men på nært hold er det en forkledd andregradslikning. Vi innfører substitusjonen a = lg x:

$$a^2-3a+2=0$$

Vi faktoriserer til (a − 1)(a − 2) = 0, så a = 1 eller a = 2. Vi er ikke ferdige ennå, vi leter jo etter x, ikke a. Vi går altså tilbake til den opprinnelige variabelen:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Begge løsningene er positive, så de oppfyller forutsetningen. Prøve for x = 100: lg 100 = 2, så 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. For x = 10 får vi 1 − 3 + 2 = 0. Likningen har to løsninger, x = 10 og x = 100.