Logaritmikus egyenletek

A logaritmikus egyenlet olyan egyenlet, amelyben az ismeretlen általában a logaritmus argumentumában rejtőzik. A legegyszerűbb például így néz ki:

$${\log }_{2}x=3$$

A logaritmus az a kitevő, amelyre az alapot emelnünk kell, hogy megkapjuk az argumentumot. Az egyenlet tehát azt kérdezi: mire kell emelnünk a kettőt, hogy x-et kapjunk? A harmadikra. Vagyis

$$x=2^3=8.$$

Ugyanezt megmutatja a grafikon is. Azt a helyet keressük, ahol az y = log₂ x függvény grafikonja metszi az y = 3 vízszintes egyenest:

A log₂ x függvény szigorúan monoton növekvő, ezért az egyenest csak egyszer metszi, és az egyenletnek egyetlen megoldása van. Ebben áll a logaritmikus egyenletek egész titka: mindent olyan alakra igyekszünk hozni, amelyben az egyik oldalon egy logaritmus áll, a másikon pedig egy szám vagy szintén egy logaritmus. Ez hasonló trükk, mint az exponenciális egyenleteknél, ahol azonos alapokat kerestünk.

Kikötések

Logaritmusa csak pozitív számnak van. Mennyi log₂(−4)? Mire emeljük a kettőt, hogy −4 jöjjön ki? Semmire, a kettő hatványa mindig pozitív. Ebből következik, hogy az egyenletben szereplő minden logaritmus argumentumának pozitívnak kell lennie.

A logaritmusokkal végzett átalakítások azonban nem mindig ekvivalensek, és ezt a feltételt csendben elveszíthetik. Ekkor olyan gyök jön ki, amelyre az eredeti egyenletnek egyáltalán nincs értelme. Tipikus hiba: az egyenletet gépiesen megoldjuk, leírjuk az összes gyököt, és nem ellenőrizzük, hogy a logaritmusba egyáltalán szabad-e behelyettesíteni.

Kétféleképpen védekezhetünk ellene:

• az elején meghatározzuk a kikötéseket, vagyis az egyenlet értelmezési tartományát, a végén pedig kizárjuk azokat a gyököket, amelyek nem tartoznak bele,
• vagy a végén ellenőrzést végzünk, és minden gyököt behelyettesítünk az eredeti egyenletbe.

Az ellenőrzés biztosabb, mert egy sima számolási hibát is leleplez. A logaritmikus egyenleteknél ráadásul rövid, ezért mindig megéri.

A logaritmus elhagyása

Ha az egyenletet sikerül

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

alakra hozni, ahol mindkét oldalon azonos alapú logaritmus áll, akkor egyszerűen „kihúzhatjuk” őket, és az

$$f(x)=g(x)$$

egyenletet oldjuk meg.

Ezt azért szabad, mert a logaritmusfüggvény egynél nagyobb alap esetén szigorúan monoton növekvő, egynél kisebb alap esetén szigorúan monoton csökkenő, így ugyanazt az értéket csak ugyanarra az argumentumra veszi fel. Ezt a lépést a logaritmus elhagyásának nevezzük. De vigyázat: kihúzni csak akkor szabad, ha mindkét oldalon egyetlen logaritmus áll, és semmi más. A lg x + lg 3 = lg 12 egyenletből kihúzással nem lesz x + 3 = 12. A bal oldalt előbb egyetlen logaritmussá kell összevonni, ahogyan a következő részben megmutatjuk, és csak utána jön ki x = 4.

Próbáljuk ki ezt egy példán:

$$\lg (2x+3)=\lg (x+7)$$

Emlékeztetőül: az lg a tízes alapú logaritmust jelöli, azaz azt a logaritmust, amelynek az alapja tíz. Az alap mindkét oldalon ugyanaz, ezért elhagyjuk a logaritmust, és a maradék egy közönséges elsőfokú egyenlet:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Ellenőrzés: a bal oldalon lg(2 · 4 + 3) = lg 11 jön ki, a jobb oldalon lg(4 + 7) = lg 11. Egyezik, mindkét argumentum pozitív, tehát a megoldás x = 4.

A logaritmus azonosságai

Gyakran az egyik oldalon több logaritmus áll. Ekkor a logaritmus azonosságai segítségével egyetlen logaritmussá kell összevonnunk őket. Nézzük meg az

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3$$

egyenletet.

Először a kikötések. Teljesülnie kell az x>0 és ugyanakkor az x − 2>0 feltételnek is, tehát együtt x>2.

Azonos alapú logaritmusok összege a szorzat logaritmusa, log_a u + log_a v = log_a(u · v), ha u és v is pozitív. A bal oldalt tehát összevonjuk:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Most megint ott tartunk, hogy a bal oldalon egy logaritmus áll, a jobbon egy szám, vagyis elég a definíciót használni:

$$x(x-2)=2^3$$

A zárójelet felbontjuk, a nyolcast pedig átvisszük a bal oldalra:

$$x^2-2x-8=0$$

Ez már másodfokú egyenlet. A bal oldalt szorzattá alakítjuk: (x − 4)(x + 2) = 0, ami két gyököt ad:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Csapda. A −2 nem teljesíti az x>2 kikötést, az eredeti egyenletbe nem helyettesíthető be, mert a log₂(−2) nem létezik. Honnan került mégis ide? A logaritmusok összevonásából. Az x(x − 2) kifejezés értéke x = −2 esetén nyolc, tehát pozitív, ezért az átalakított egyenletnek ezzel nincs gondja. Az eredetinek viszont van. A logaritmusok összevonásával kibővítettük az egyenletet olyan számokkal, amelyekre az eredetinek nincs értelme.

Ellenőrzés x = 4-re: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Egyezik, tehát az egyenletnek egyetlen megoldása van, x = 4.

Új ismeretlen bevezetése

Néha az egyenletben megjelenik a logaritmus négyzete:

$${\lg }^{2}x-3\lg x+2=0$$

Az lg² x jelölés azt jelenti, hogy (lg x)², vagyis először a logaritmus, és csak utána a négyzet, nem pedig lg(x²). A kikötés csak x>0.

Elsőre ijesztően néz ki, de közelebbről egy álruhás másodfokú egyenlet. Bevezetjük az a = lg x új ismeretlent:

$$a^2-3a+2=0$$

Szorzattá alakítjuk: (a − 1)(a − 2) = 0, tehát a = 1 vagy a = 2. Még nem vagyunk készen, hiszen x-et keressük, nem a-t. Visszahelyettesítünk tehát:

$$\lg x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Mindkét gyök pozitív, így teljesítik a kikötést. Ellenőrzés x = 100-ra: lg 100 = 2, tehát 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. x = 10 esetén 1 − 3 + 2 = 0 jön ki. Az egyenletnek két megoldása van, x = 10 és x = 100.