Logaritmik Denklem

Logaritmik denklem, bilinmeyenin çoğunlukla bir logaritmanın içinde, yani argümanında yer aldığı denklemdir. En basiti şuna benzer:

$${\log }_{2}x=3$$

Logaritma, argümanı elde etmek için tabanı hangi kuvvete yükseltmemiz gerektiğini gösteren üstür. Yani denklem şunu soruyor: x olması için ikiyi hangi kuvvete yükseltmeliyiz? Üçüncü kuvvete. Demek ki

$$x=2^3=8.$$

Aynısını grafik de gösterir. y = log₂ x fonksiyonunun grafiğinin y = 3 yatay doğrusunu kestiği yeri arıyoruz:

log₂ x fonksiyonu artan bir fonksiyondur, bu yüzden doğruyu yalnızca bir kez keser ve denklemin tek bir çözümü vardır. Logaritmik denklemlerin bütün sırrı da budur: her şeyi, bir tarafta tek bir logaritma, diğer tarafta bir sayı (ya da yine tek bir logaritma) olacak biçime getirmeye çalışırız. Bu, aynı tabanları aradığımız üstel denklemlerdeki numaraya benzer.

Koşullar

Logaritma yalnızca pozitif sayılar için vardır. log₂(−4) kaçtır? −4 çıkması için ikiyi hangi kuvvete yükseltmeliyiz? Hiçbirine, çünkü ikinin kuvveti her zaman pozitiftir. Buradan şu sonuç çıkar: denklemdeki her logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır.

Ancak logaritmalarla yapacağımız işlemler her zaman denk değildir ve bu koşulu fark ettirmeden kaybedebilir. O zaman öyle bir kök çıkar ki, asıl denklem bu kök için hiçbir anlam taşımaz. Tipik hata şudur: denklemi mekanik olarak çözmek, bütün kökleri yazmak ve bu sayıların logaritmaya gerçekten yazılıp yazılamayacağını kontrol etmemek.

Bundan iki yolla korunabiliriz:

• başta koşulları, yani denklemin tanım kümesini belirleyip sonda ona ait olmayan kökleri elemek,
• ya da sonda doğrulama yapıp her kökü asıl denklemde yerine koymak.

Doğrulama daha güvenlidir, çünkü sıradan bir hesap hatasını da ortaya çıkarır. Üstelik logaritmik denklemlerde genellikle kısa sürer, bu yüzden her seferinde yapmaya değer.

Logaritmaları Kaldırma

Denklemi şu biçime getirebilirsek:

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

yani her iki tarafta da tabanı aynı olan logaritmalar varsa, onları basitçe “sadeleştirebilir” ve şu denklemi çözebiliriz:

$$f(x)=g(x).$$

Buna izin vardır, çünkü logaritma taban 1’den büyükken artan, 1’den küçükken azalandır; dolayısıyla aynı değeri ancak aynı argüman için alır. Bu adıma logaritmaları kaldırma denir. Ama dikkat: sadeleştirmek ancak her tarafta tek bir logaritma varsa ve başka hiçbir şey yoksa mümkündür. log x + log 3 = log 12 denkleminde sadeleştirerek x + 3 = 12 elde edilmez. Önce sol tarafı tek bir logaritmada birleştirmek gerekir; bunu bir sonraki bölümde göreceğiz. Ancak ondan sonra x = 4 çıkar.

Şimdi bunu bir örnekle deneyelim:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Hatırlayalım: tabansız yazılan log, onluk logaritma, yani tabanı on olan logaritma demektir. Taban her iki tarafta aynı, o hâlde logaritmaları kaldırırız; geriye sıradan bir birinci dereceden denklem kalır:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Doğrulama: solda log(2 · 4 + 3) = log 11, sağda log(4 + 7) = log 11 çıkar. Uyuyor, iki argüman da pozitif, yani çözüm x = 4’tür.

Logaritma Kuralları

Çoğu zaman bir tarafta birden fazla logaritma bulunur. O zaman onları logaritma kurallarıyla tek bir logaritmada birleştirmemiz gerekir. Şu denkleme bakalım:

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Önce koşullar. Hem x>0 hem de x − 2>0 olmalıdır, yani birlikte x>2.

Tabanları aynı olan logaritmaların toplamı, çarpımın logaritmasıdır: log_a u + log_a v = log_a(u · v); bunun için u ve v pozitif olmalıdır. Sol tarafı böylece birleştiririz:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Yine başa döndük: solda tek bir logaritma, sağda bir sayı var; o hâlde tanımı kullanmak yeter:

$$x(x-2)=2^3$$

Parantezi dağıtırız ve sekizi sol tarafa geçiririz:

$$x^2-2x-8=0$$

Bu artık bir ikinci dereceden denklemdir. Sol tarafı (x − 4)(x + 2) = 0 çarpımına ayırırız; bu iki kök verir:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Tuzak. −2 sayısı x>2 koşulunu sağlamaz, asıl denklemde yerine konamaz, çünkü log₂(−2) tanımsızdır. Peki buraya nereden geldi? Logaritmaları birleştirmekten. x(x − 2) ifadesi x = −2 için sekiz değerini alır, yani pozitiftir; bu yüzden düzenlenmiş denklemin onunla bir sorunu yoktur. Asıl denklemin ise vardır. Logaritmaları birleştirerek denklemi, asıl denklemin anlamsız olduğu sayıları da içerecek biçimde genişlettik.

x = 4 için doğrulama: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Uyuyor, yani denklemin tek çözümü x = 4’tür.

Değişken Değiştirme

Bazen denklemde bir logaritmanın karesi karşımıza çıkar:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

log² x yazılışı (log x)² anlamına gelir; yani önce logaritma alınır, sonra kare, log(x²) değil. Koşul yalnızca x>0’dır.

İlk bakışta korkutucu görünür, ama yakından bakınca kılık değiştirmiş bir ikinci dereceden denklemdir. a = log x değişken değiştirmesini yaparız:

$$a^2-3a+2=0$$

(a − 1)(a − 2) = 0 biçiminde çarpanlarına ayırırsak a = 1 ya da a = 2 bulunur. Henüz bitmedi, çünkü a’yı değil x’i arıyoruz. O hâlde değişken değiştirmeyi geri alırız:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

İki kök de pozitif, yani koşulu sağlıyor. x = 100 için doğrulama: log 100 = 2, dolayısıyla 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. x = 10 için 1 − 3 + 2 = 0 çıkar. Denklemin iki çözümü vardır: x = 10 ve x = 100.