Logaritmiske ligninger

En logaritmisk ligning er en ligning, hvor den ubekendte som regel gemmer sig i argumentet til en logaritme. Den enkleste ser for eksempel sådan ud:

$${\log }_{2}x=3$$

En logaritme er den eksponent, som vi skal opløfte grundtallet i for at få argumentet. Ligningen spørger altså: hvad skal vi opløfte to i for at få x? I tredje. Så

$$x=2^3=8.$$

Det samme viser grafen. Vi leder efter det sted, hvor grafen for funktionen y = log₂ x skærer den vandrette linje y = 3:

Funktionen log₂ x er strengt voksende, så den skærer linjen kun én gang, og ligningen har netop én løsning. I det ligger hele hemmeligheden ved logaritmiske ligninger: vi prøver at omforme alt til en form, hvor der på den ene side står én logaritme og på den anden side et tal eller også én logaritme. Det er et lignende trick som ved eksponentialligninger, hvor vi søgte samme grundtal.

Betingelser

Logaritmen virker kun på positive tal. Hvad er log₂(−4)? Hvad skal vi opløfte to i for at få −4? I ingenting, en potens af to er altid positiv. Heraf følger, at argumentet til hver logaritme i ligningen skal være positivt.

De omformninger, vi kommer til at lave med logaritmer, er imidlertid ikke altid ækvivalente og kan i al stilhed miste denne betingelse. Så kommer der en løsning ud, som den oprindelige ligning slet ikke giver mening for. Typisk fejl: man regner ligningen mekanisk, skriver alle løsninger af og kontrollerer ikke, om de overhovedet må indsættes i logaritmen.

Det kan vi forsvare os imod på to måder:

• i begyndelsen fastlægge betingelserne, altså ligningens definitionsmængde, og til sidst udelukke de løsninger, der ikke hører til den,
• eller til sidst lave en prøve og indsætte hver løsning i den oprindelige ligning.

Prøven er mere sikker, fordi den også afslører en almindelig regnefejl. Ved logaritmiske ligninger er den desuden som regel kort, så den kan betale sig hver gang.

At fjerne logaritmerne

Hvis det lykkes at omforme ligningen til formen

$${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x),$$

hvor der på begge sider står logaritmer med samme grundtal, kan vi simpelthen »stryge« dem og løse ligningen

$$f(x)=g(x).$$

Det må vi, fordi logaritmen er strengt voksende for et grundtal større end 1 og strengt aftagende for et mindre, så den kun giver samme værdi for samme argument. Dette trin kalder vi at fjerne logaritmerne. Pas dog på: vi må først stryge, når der på hver side kun står én logaritme og intet andet. Af ligningen log x + log 3 = log 12 opstår der ikke x + 3 = 12 ved at stryge. Venstre side skal først limes sammen til én logaritme, som vi viser i næste afsnit, og først derefter får vi x = 4.

Nu prøver vi det på et eksempel:

$$\log (2x+3)=\log (x+7)$$

Husk, at log uden grundtal betyder 10-talslogaritmen, altså logaritmen med grundtal ti. Grundtallet er det samme på begge sider, så vi fjerner logaritmerne, og resten er en almindelig lineær ligning:

$$\begin{array}{rcl}2x+3& =& x+7/-x\\ x+3& =& 7/-3\\ x& =& 4\end{array}$$

Prøve: til venstre får vi log(2 · 4 + 3) = log 11, til højre log(4 + 7) = log 11. Det passer, begge argumenter er positive, så løsningen er x = 4.

Regneregler for logaritmer

Ofte står der flere logaritmer på den ene side. Så skal vi lime dem sammen til én ved hjælp af reglerne for logaritmer. Vi ser på ligningen

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-2)=3.$$

Først betingelserne. Der skal gælde x>0 og samtidig x − 2>0, altså tilsammen x>2.

Summen af logaritmer med samme grundtal er logaritmen af produktet, log_a u + log_a v = log_a(u · v), hvis både u og v er positive. Venstre side limer vi altså sammen:

$${\log }_2(x(x-2))=3$$

Nu er vi igen ved begyndelsen: på venstre side én logaritme, på højre et tal, så det er nok at bruge definitionen:

$$x(x-2)=2^3$$

Vi ganger parentesen ud og flytter otte over på venstre side:

$$x^2-2x-8=0$$

Det er allerede en andengradsligning. Venstre side opløser vi i faktorer (x − 4)(x + 2) = 0, hvilket giver to løsninger:

$$x_1=4,x_2=-2$$

Pas på! Tallet −2 opfylder ikke betingelsen x>2, det kan ikke indsættes i den oprindelige ligning, fordi log₂(−2) ikke eksisterer. Hvor kom det fra? Fra sammenlimningen af logaritmerne. Udtrykket x(x − 2) har for x = −2 værdien otte, er altså positivt, så den omformede ligning har ikke noget problem med det. Det har den oprindelige derimod. Ved at lime logaritmerne sammen har vi udvidet ligningen med tal, som den oprindelige ligning ikke giver mening for.

Prøve for x = 4: log₂ 4 + log₂ 2 = 2 + 1 = 3. Det passer, så ligningen har netop én løsning, x = 4.

Substitution

Nogle gange optræder der en logaritme i anden i ligningen:

$${\log }^{2}x-3\log x+2=0$$

Skrivemåden log² x betyder (log x)², altså først logaritmen og derefter anden potens, ikke log(x²). Betingelsen er kun x>0.

Ved første øjekast ser det frygteligt ud, men på nærmere hold er det en forklædt andengradsligning. Vi indfører substitutionen a = log x:

$$a^2-3a+2=0$$

Vi opløser i faktorer til (a − 1)(a − 2) = 0, så a = 1 eller a = 2. Vi er ikke færdige endnu, vi leder jo efter x, ikke a. Vi går derfor tilbage til substitutionen:

$$\log x=1\Rightarrow x={10}^1=10$$

$$\log x=2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Begge løsninger er positive, så de opfylder betingelsen. Prøve for x = 100: log 100 = 2, så 2² − 3 · 2 + 2 = 4 − 6 + 2 = 0. For x = 10 får vi 1 − 3 + 2 = 0. Ligningen har to løsninger, x = 10 og x = 100.