Petua Cramer

Petua Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang matriks pekalinya tak singular.

Sistem Cramer

Katakan kita mempunyai sistem persamaan linear Ax = b. Sistem ini dipanggil sistem Cramer jika A ialah matriks segi empat sama yang tak singular. Maksudnya, penentu matriks ini sentiasa bukan sifar, dan matriks itu tidak mempunyai sebarang baris atau lajur yang bersandar linear.

Menurut teorem Rouché–Capelli, setiap sistem Cramer mempunyai satu penyelesaian sahaja. Teorem Rouché–Capelli menyatakan bahawa jika rank(A) = rank(A|b) = k, maka sistem itu mempunyai penyelesaian. Matriks A bagi sistem Cramer ialah matriks segi empat sama dan mempunyai pangkat maksimum yang mungkin. Maksudnya, jika kita menambah sebarang lajur lain pada matriks ini, lajur itu semestinya gabungan linear lajur matriks A. Jadi, dengan menambah lajur daripada matriks b, pangkat matriks A tidak bertambah.

Teorem Rouché–Capelli juga menyatakan bahawa untuk mengungkapkan penyelesaian, kita memerlukan n − k parameter, dengan n ialah bilangan pemboleh ubah dan k ialah pangkat matriks rank(A|b). Bagi sistem Cramer, n = k, jadi untuk mengungkapkan penyelesaian kita tidak memerlukan sebarang parameter. Oleh itu, setiap sistem Cramer mempunyai satu penyelesaian sahaja.

Seterusnya, kita tandakan dengan A_i matriks A yang telah diubah dengan meletakkan lajur b di tempat lajur ke-i. Secara formal, matriks A_i ditakrifkan seperti berikut:

$$A_i=\left(\begin{array}{ccccccc}{a}_{1,1}& \dots & a_{1,i-1}& b_1& a_{1,i+1}& \dots & a_{1,n}\\ a_{2,1}& \dots & a_{2,i-1}& b_2& a_{2,i+1}& \dots & a_{2,n}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{n,1}& \dots & a_{n,i-1}& b_n& a_{n,i+1}& \dots & a_{n,n}\end{array}\right)$$

dengan a_ij ialah unsur matriks A dan b_i ialah unsur matriks b.

Petua Cramer

Katakan Ax = b ialah sistem Cramer bagi persamaan linear. Petua Cramer menyatakan bahawa sistem ini mempunyai satu penyelesaian sahaja (x₁, x₂, …, x_n), dengan

$$x_i=\frac{\text{det }{A}_i}{\text{det }A}=\frac{|A_i|}{|A|}.$$

Mari kita tunjukkan petua ini dengan segera melalui contoh kecil. Kita selesaikan sistem berikut dengan petua Cramer.

$$\begin{array}{ccccc}{x}_1& +& 2x_2& =& 5\\ 4x_1& +& 3x_2& =& 15& \end{array}$$

Matriks pekali berbentuk:

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right)$$

Penentu matriks ini ialah:

$$|A|=3-8=-5.$$

Seterusnya, kita bina matriks A₁ dan A₂. Kedua-duanya berbentuk:

$$A_1=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 15& 3\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 15\end{array}\right)$$

Kita kira penentu matriks ini:

$$\begin{array}{rcl}|A_1|& =& 5\cdot 3-15\cdot 2=-15\\ |A_2|& =& 1\cdot 15-4\cdot 5=-5\end{array}$$

Kemudian kita kira x₁ dan x₂ satu demi satu. Menurut petua Cramer, bagi unsur x₁ berlaku

$$x_1=\frac{|A_1|}{|A|}$$

Selepas penggantian, kita memperoleh

$$x_1=\frac{-15}{-5}=3$$

Begitu juga bagi unsur kedua x₂:

$$x_2=\frac{|A_2|}{|A|}=\frac{-5}{-5}=1$$

Jadi, penyelesaian sistem persamaan ini ialah pasangan (x₁, x₂) = (3, 1).

Petua Cramer paling sesuai apabila anda ingin menjadikan langkah penyelesaian sebagai algoritma, kerana petua ini mudah diprogramkan. Menyelesaikan sistem dengan petua Cramer secara manual biasanya lebih rumit daripada menyelesaikannya dengan kaedah penghapusan Gauss.