Системи линейни уравнения

Системата линейни уравнения е множество от m линейни уравнения с n променливи. Като решим системата, получаваме стойности, които можем да заместим вместо нашите n променливи, така че всички уравнения да са верни.

Определение на система линейни уравнения

Със сигурност вече си се срещал с проста система от вида

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

където a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂ са зададени реални числа, а x и y са променливи. Тази система уравнения може да има различен брой решения – нито едно, едно или безброй много, подобно на обикновеното линейно уравнение. При системата линейни уравнения въпросът за броя на решенията и за намирането им е по-сложен, отколкото при простото линейно уравнение.

Определение на система линейни уравнения:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

където a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m са реални числа. Тази система се нарича система от m линейни уравнения с n неизвестни x₁, …, x_n с коефициенти a₁₁, …, a_mn. Конкретен пример за система линейни уравнения може да изглежда така:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Ако обаче някое a_ij е отрицателно, обичайно е да се записва във вида:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

И в двата записа е изпълнено, че a₁₂ = −2 и a₂₄ = −10.

Матричен запис

Тази система можем да преобразуваме в матричен вид. Определяме общо три матрици – една за коефициентите, една за дясната страна на уравненията и една за самите променливи. Матриците ще изглеждат така:

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

Матрицата A съдържа коефициентите на първоначалните уравнения и я наричаме „матрица на системата“, матрицата b съдържа дясните страни на уравненията, а матрицата x съдържа променливите. Тогава цялата система уравнения можем да запишем като уравнението

$A x = b$

Това уравнение има смисъл, защото отляво имаме произведение на две матрици, а отдясно имаме матрица, като размерностите им си съответстват. Можем да опитаме да умножим лявата страна. Умножаваме матрица от тип m × n по матрица от тип n × 1, така че получената матрица ще е от тип m × 1, ще има m реда и един стълб. Засега всичко е наред.

Сега извършваме класическия алгоритъм за умножение на матрици, започваме с първия ред на матрицата A и с първия стълб на матрицата x (друг стълб няма). Получаваме:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

С този сбор получихме първия елемент на новата матрица, тоест стойността b₁. Като заместим всичко в уравнението, имаме:

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

Получихме точно първото уравнение от нашата система уравнения. По същия начин бихме продължили за останалите редове. Определяме още разширената матрица на системата, която е матрицата на системата, към която добавяме матрицата b по следния начин:

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

След това ни интересува рангът на тази разширена матрица на системата. Ранга на първоначалната неразширена матрица на системата означаваме с rank(A), а ранга на разширената – rank(A|b). Каква е връзката между тези рангове? Ако към матрицата A добавим стълба b, могат да настъпят две ситуации: ако този нов стълб е линейна комбинация на стълбовете на матрицата A, рангът не се променя. Ако не е бил линейна комбинация, рангът ще е с единица по-голям.

Теорема на Фробениус

Рангът на разширената матрица ще е важен за нас, защото е в сила важна теорема, теоремата на Фробениус: Системата уравнения Ax = b има решение тогава и само тогава, когато рангът на матрицата на системата е равен на ранга на разширената матрица на системата: rank(A) = rank(A|b).

Ще се опитаме да покажем, че тази теорема е вярна поне в едната посока – ако x = β е решение на уравнението Ax = b, то rank(A) = rank(A|b). Ако тези рангове са равни, трябва да е изпълнено, че стълбът b е линейна комбинация на стълбовете на матрицата A. Ще го разпишем. Матрицата β има вида:

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

И ние твърдим, че ако вместо x₁ заместим β₁ и т.н., всички уравнения в системата ще са верни:

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

Сега ще препишем малко уравненията. Ако погледнем първия стълб, ще установим, че там винаги имаме стойностите a₁₁, a₂₁, …, a_m1, които умножаваме по една и съща стойност β₁. Ако отделим стълба в самостоятелна матрица, можем да изнесем стойността β₁ пред матрицата и така получаваме:

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

Сега по този начин можем да препишем цялата система:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

За да е вярно това уравнение, матрицата отдясно трябва да е линейна комбинация на стълбовите матрици отляво и стойностите β₁, …, β_n трябва да са техните коефициенти.

Така доказахме, че ако матрицата β е решение на системата уравнения, дясната страна на системата, матрицата b, трябва да е линейна комбинация на стълбовете на матрицата на системата. А ако стълбът от матрицата b е линейна комбинация на стълбовете на матрицата A, матрицата A трябва да има същия ранг като матрицата (A|b).

Освен това, ако rank(A) = rank(A|b) = k и k е равно на броя на неизвестните, тоест k = n, системата има точно едно решение. Ако k < n, системата има безброй много решения и за записването им ще са ни нужни n − k параметъра.

Елементарни редови преобразувания

От предишното уравнение се вижда още, че ако извършваме в матрицата (A|b) елементарни редови преобразувания, решението на системата уравнения не се променя. Ако прибавим към втория ред първия ред, бихме получили уравнението:

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

Ако разпишем втория ред, получаваме:

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

Разкриваме скобите:

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

Сега само малко ги разместваме:

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

В първата скоба всъщност имаме първия ред, а във втората скоба – първоначалния втори ред. Знаем, че първият ред е равен на стойността b₁, а вторият ред е равен на стойността b₂. Това знаем от първоначалните уравнения. Така че вместо първата скоба можем да запишем b₁, а вместо втората b₂:

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

Подобно можем да умножим целия ред по константа c ≠ 0 и няма да променим верността на системата уравнения. Внимавай обаче: не можем да извършваме преобразувания със стълбове.

Система с едно решение

С пример ще покажем как се решава система, която има точно едно решение. Нека имаме такава система уравнения:

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

Матрицата A ще изглежда така:

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

Сега пресмятаме ранга на тази матрица:

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

Виждаме, че rank(A) = 3. От това следва също, че rank(A|b) = 3, защото матрица от тип 3 × 4 може да има максимален ранг три. Системата има три неизвестни, така че цялата система има точно едно решение. Как да го намерим?

Метод на Гаус

Методът на Гаус се състои в преобразуване на разширената матрица на системата в стъпаловиден вид. Като преобразуваме матрицата в стъпаловиден вид, ще можем да установим стойността на една променлива. След като намерим стойността на една променлива, можем да започнем да заместваме тази стойност в другите уравнения.

Матрицата (A|b) има вида:

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

Преобразуваме я в стъпаловиден вид. Ще извършваме същите преобразувания като в предишната стъпка, само че този път ще ги прилагаме и към четвъртия стълб:

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

Тъй като извършвахме елементарни редови преобразувания, тази матрица описва еквивалентна система уравнения – система, която има същото множество от решения. Преписваме системата от матричен запис в обикновен, като използваме коефициентите от последната ни матрица:

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

Сега тръгваме от последното уравнение. То ни казва, че 78x₃ = 312. Каква стойност трябва да има x₃? Това е просто линейно уравнение, така че

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

Имаме стойността на първата променлива, x₃. Тази стойност заместваме във второто уравнение. Получаваме уравнението:

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

И накрая двете пресметнати стойности заместваме в първото уравнение:

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

Стойността на променливата x₁ е равна на две. Вече имаме пълното решение. Можем да запишем, че x = (x₁; x₂; x₃) = (2; 5; 4). Както се вижда, методът на Гаус е прост, но ефективен начин за решаване на система линейни уравнения.

Безброй много решения

Ако rank(A) = rank(A|b) = k и k е по-малко от броя на неизвестните, k < n, системата има безброй много решения. Нека вземем прост пример:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

Виждаме, че второто уравнение е равно на утроеното първо уравнение. Ако умножим първото уравнение по минус три и прибавим към втория ред, получаваме:

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

В този момент броят на променливите е равен на две, n = 2, рангът на матрицата на системата е равен на едно, rank(A) = 1, и рангът на разширената матрица също е равен на едно, rank(A|b) = 1. Изпълнено е k < n, така че системата има безброй много решения. Как да намерим тези решения?

Поглеждаме уравненията. Второто уравнение е изпълнено за всички x₁, x₂, така че ни интересува само първото уравнение. Всъщност всички двойки x₁, x₂, които удовлетворяват първото уравнение, ще образуват множеството на всички решения на дадената система уравнения. Затова решаваме уравнението 4x₁ + x₂ = 5. Преобразуваме уравнението във вида x₂ = 5 − 4x₁.

След това ще си помогнем с параметър. Избираме си параметър t. Сега ще се стараем да изразим двойката x₁, x₂ чрез параметъра t, така че да можем да запишем, че например всички двойки от вида (t; t + 2) са решение на системата. Тоест двойки като (1; 3) или (14; 16). Смисълът е да изразим стойността на една променлива чрез друга променлива, така че да знаем, че когато стойността на x₁ е еди-каква си, стойността на x₂ ще е например три пъти по-голяма. За начална точка избираме x₁.

Полагаме равенството t = x₁. Ако променливата x₁ има стойност t, каква стойност ще има променливата x₂? Това виждаме от предишното уравнение, тя ще има стойност x₂ = 5 − 4x₁. Тоест ако x₁ = t, то x₂ = 5 − 4t. Можем да запишем, че всички двойки от вида (t; 5 − 4t) са решение на системата уравнения.

Можем да проверим. Ако вместо t заместим едно, имаме: x₁ = 1 и x₂ = 5 − 4 · 1 = 1. Заместваме тези стойности в уравнението: 4 · 1 + 1 = 5, уравнението е изпълнено.

Ако вместо t заместим пет, имаме: x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15. След заместване в уравнението имаме: 4 · 5 − 15 = 5. Изпълнено е.

Общо и частно решение

Решението на система уравнения, което е записано с помощта на параметри, наричаме общо решение. Конкретното решение, тоест когато вместо параметрите заместим конкретни числа, наричаме частно решение.

Така от предишния пример: (x₁; x₂) = (t; 5 − 4t) е общо решение на системата уравнения, а (1; 1) и (5; −15) са частни решения.

Ако имаме матрица на системата A и разширена матрица на системата (A|b) и ранговете им са равни, rank(A) = rank(A|b) = k, за изразяването на общото решение са ни нужни n − k параметъра. Обърни внимание, че ако n = k, са ни нужни нула параметъра. Това е случаят, когато системата има точно едно решение – тогава не е нужен никакъв параметър.

Пример

Реши следната система линейни уравнения:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

Първо пресмятаме ранга на матриците A и (A|b). Преобразуваме разширената матрица в стъпаловиден вид, от което установяваме ранга на двете матрици. Започваме преобразуванията. (Първия ред умножаваме по две, след това събираме първия и втория ред и този резултат изваждаме от третия ред. След това от втория ред изваждаме първия ред и накрая първия ред делим обратно на две.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

От тази последна матрица вече виждаме, че rank(A) = rank(A|b) = k = 2. Броят на неизвестните е n = 4, така че ще са ни нужни n − k = 2 параметъра. Изразяваме уравненията според последната матрица:

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

От второто уравнение получаваме

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

Избираме първия параметър, t = x₃. Тогава можем да запишем, че x₁ = −6t. Това можем да заместим в първото уравнение:

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

Включваме в играта втория параметър, s = x₄. Тогава можем да запишем, че

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

Така получаваме общото решение на системата:

$(x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (- 6 t; - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s; t; s)$

Можем да изпробваме някои частни решения. Например s = t = 0. Тогава получаваме: $(x_{1}; x_{2}; x_{3}; x_{4}) = (0; - \frac{1}{2}; 0; 0)$ . След заместване в първоначалните уравнения:

получаваме уравненията:

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

След премахване на нулевите елементи и след умножаване на дробите получаваме:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Ще опитаме още едно частно решение: s = 2, t = 1. Тогава получаваме:

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

Заместваме в уравненията:

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

Преобразуваме:

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

И накрая получаваме:

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

Изглежда, че полученото общо решение е вярно.

Глави: Системи линейни уравнения, Правило на Крамер, Хомогенни системи линейни уравнения

« Предишна: Детерминанти

Следваща: Правило на Крамер »