연립일차방정식

연립일차방정식은 미지수가 n개인 일차방정식 m개의 모임이다. 연립방정식을 풀면, 모든 방정식이 성립하도록 n개의 미지수에 대입할 수 있는 값을 얻는다.

연립일차방정식의 정의

다음과 같은 간단한 연립방정식은 분명히 본 적이 있을 것이다.

$\begin{array}{ccccc} a_{11} x & + & a_{12} y & = & b_{1} \\ a_{21} x & + & a_{22} y & = & b_{2} \end{array}$

여기서 a₁₁,…,a₂₂, b₁, b₂는 주어진 실수이고 x와 y는 미지수이다. 이 연립방정식의 해의 개수는 보통의 일차방정식처럼 여러 가지일 수 있다. 해가 없을 수도, 하나일 수도, 무수히 많을 수도 있다. 연립일차방정식에서는 해가 몇 개인지, 해를 어떻게 찾는지가 간단한 일차방정식보다 복잡하다.

연립일차방정식의 정의는 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} x_{1} & + & a_{12} x_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} x_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} x_{1} & + & a_{22} x_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} x_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} & + & a_{m 2} x_{2} & + & \dots & + & a_{m n} x_{n} & = & b_{m} \end{array}$

여기서 a₁₁, …, a_mn, b₁, …, b_m은 실수이다. 이 연립방정식을 계수가 a₁₁, …, a_mn이고 미지수가 x₁, …, x_n인, n개의 미지수에 대한 일차방정식 m개의 연립방정식이라고 한다. 연립일차방정식의 구체적인 예는 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & + & - 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & - 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

하지만 어떤 a_ij가 음수이면 보통 다음과 같이 쓴다.

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & + & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & - & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

그래도 a₁₂ = −2이고 a₂₄ = −10이라는 것은 변함없다.

행렬로 나타내기

이 연립방정식은 행렬로 나타낼 수 있다. 행렬을 세 개 정의하는데, 하나는 계수, 하나는 방정식의 우변, 하나는 미지수를 위한 것이다. 행렬은 다음과 같다.

$A = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} \end{matrix}), b = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix}), x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix})$

행렬 A에는 원래 방정식의 계수가 들어 있고 이것을 ‘계수행렬’이라고 한다. 행렬 b에는 방정식의 우변이, 행렬 x에는 미지수가 들어 있다. 그러면 연립방정식 전체를 다음 방정식으로 쓸 수 있다.

$A x = b$

이 방정식은 의미가 있다. 좌변에는 두 행렬의 곱이, 우변에는 행렬이 있고, 그 크기가 맞기 때문이다. 좌변을 곱해 보자. m × n 행렬에 n × 1 행렬을 곱하므로 결과는 m × 1 행렬, 즉 행이 m개이고 열이 하나인 행렬이다. 여기까지는 문제없다.

이제 보통의 행렬의 곱셈 알고리즘대로 행렬 A의 첫 번째 행과 행렬 x의 첫 번째 열(다른 열은 없다)부터 계산한다. 그러면 다음을 얻는다.

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n}$

이 합으로 새 행렬의 첫 번째 성분, 즉 값 b₁을 얻었다. 이것을 모두 방정식에 넣으면 다음과 같다.

$a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} = b_{1}$

연립방정식의 첫 번째 방정식이 그대로 나왔다. 다른 행도 같은 방법으로 계속하면 된다. 확대행렬도 정의하자. 확대행렬은 계수행렬에 행렬 b를 다음과 같이 덧붙인 행렬이다.

$B = (A | b) = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} & b_{1} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \dots & a_{m n} & b_{m} \end{matrix})$

다음으로 관심을 둘 것은 이 확대행렬의 계수이다. 원래의 (확대하지 않은) 계수행렬의 계수를 rank(A)로, 확대행렬의 계수를 rank(A|b)로 나타내자. 이 두 계수는 어떤 관계일까? 행렬 A에 열 b를 덧붙이면 두 가지 경우가 생길 수 있다. 이 새 열이 행렬 A의 열들의 일차결합이면 계수는 바뀌지 않는다. 일차결합이 아니면 계수가 1만큼 커진다.

프로베니우스 정리

확대행렬의 계수가 중요한 것은 다음과 같은 중요한 정리, 프로베니우스 정리(루셰-카펠리 정리라고도 한다)가 성립하기 때문이다. 연립방정식 Ax = b가 해를 가질 필요충분조건은 계수행렬의 계수와 확대행렬의 계수가 같은 것, 즉 rank(A) = rank(A|b)이다.

이 정리가 적어도 한쪽 방향으로는 성립한다는 것을 보이자. 즉 x = β가 방정식 Ax = b의 해이면 rank(A) = rank(A|b)이다. 두 계수가 같으려면 열 b가 행렬 A의 열들의 일차결합이어야 한다. 풀어 써 보자. 행렬 β는 다음과 같다.

$β = (\begin{matrix} β_{1} \\ β_{2} \\ ⋮ \\ β_{n} \end{matrix})$

x₁에 β₁을 대입하고 나머지도 이렇게 대입하면 연립방정식의 모든 방정식이 성립한다고 하자.

$\begin{array}{ccccccccc} a_{11} β_{1} & + & a_{12} β_{2} & + & \dots & + & a_{1 n} β_{n} & = & b_{1} \\ a_{21} β_{1} & + & a_{22} β_{2} & + & \dots & + & a_{2 n} β_{n} & = & b_{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} & + & a_{m 2} β_{2} & + & \dots & + & a_{m n} β_{n} & = & b_{m} \end{array}$

이제 방정식을 조금 바꿔 쓴다. 첫 번째 열을 보면 언제나 값 a₁₁, a₂₁, …, a_m1이 있고 이것들에 같은 값 β₁을 곱한다. 이 열을 따로 떼어 행렬로 만들면 값 β₁을 행렬 앞으로 묶어 낼 수 있다. 그러면 다음을 얻는다.

$(\begin{matrix} a_{11} β_{1} \\ a_{21} β_{1} \\ ⋮ \\ a_{m 1} β_{1} \end{matrix}) = β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix})$

이제 연립방정식 전체를 이렇게 바꿔 쓸 수 있다.

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

이 방정식이 성립하려면 우변의 행렬이 좌변의 열행렬들의 일차결합이어야 하고, 값 β₁, …, β_n이 그 계수여야 한다.

이것으로 행렬 β가 연립방정식의 해이려면 연립방정식의 우변인 행렬 b가 계수행렬의 열들의 일차결합이어야 한다는 것을 증명했다. 그리고 행렬 b의 열이 행렬 A의 열들의 일차결합이면 행렬 A의 계수는 행렬 (A|b)의 계수와 같아야 한다.

또 rank(A) = rank(A|b) = k이고 k가 미지수의 개수와 같으면, 즉 k = n이면 연립방정식의 해는 하나뿐이다. k < n이면 연립방정식의 해는 무수히 많고, 그 해를 나타내려면 매개변수가 n − k개 필요하다.

기본 행 연산

앞의 방정식에서 행렬 (A|b)에 기본 행 연산을 해도 연립방정식의 해는 바뀌지 않는다는 것도 알 수 있다. 두 번째 행에 첫 번째 행을 더하면 다음 방정식을 얻는다.

$β_{1} (\begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} + a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}) + β_{2} (\begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} + a_{12} \\ ⋮ \\ a_{m 2} \end{matrix}) + \dots + β_{n} (\begin{matrix} a_{1 n} \\ a_{2 n} + a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} + b_{1} \\ ⋮ \\ b_{m} \end{matrix})$

두 번째 행을 풀어 쓰면 다음과 같다.

$β_{1} (a_{21} + a_{11}) + β_{2} (a_{22} + a_{12}) + \dots + β_{n} (a_{2 n} + a_{1 n}) = b_{1} + b_{2}$

괄호를 푼다.

$β_{1} a_{21} + β_{1} a_{11} + β_{2} a_{22} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{2 n} + β_{n} a_{1 n} = b_{1} + b_{2}$

이제 조금 순서를 바꾼다.

$(β_{1} a_{11} + β_{2} a_{12} + \dots + β_{n} a_{1 n}) + (β_{1} a_{21} + β_{2} a_{22} + \dots + β_{n} a_{2 n}) = b_{1} + b_{2}$

첫 번째 괄호에는 사실 첫 번째 행이, 두 번째 괄호에는 원래의 두 번째 행이 있다. 원래 방정식에서 첫 번째 행은 값 b₁과 같고 두 번째 행은 값 b₂와 같다는 것을 안다. 그래서 첫 번째 괄호 대신 b₁을, 두 번째 괄호 대신 b₂를 쓸 수 있다.

$b_{1} + b_{2} = b_{1} + b_{2} .$

마찬가지로 한 행 전체에 상수 c ≠ 0을 곱해도 연립방정식은 그대로 성립한다. 하지만 열 연산은 할 수 없다는 점에 주의하자.

해가 하나인 연립방정식

해가 하나뿐인 연립방정식을 푸는 방법을 예로 보자. 다음 연립방정식이 있다.

$\begin{array}{ccccccc} 2 x_{1} & + & 3 x_{2} & + & 7 x_{3} & = & 47 \\ 3 x_{1} & + & 8 x_{2} & + & x_{3} & = & 50 \\ 3 x_{2} & + & 3 x_{3} & = & 27 \end{array}$

행렬 A는 다음과 같다.

$A = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix})$

이제 이 행렬의 계수를 구한다.

$(\begin{matrix} 2 & 3 & 7 \\ 3 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 6 & 16 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 7 & - 19 \\ 0 & 3 & 3 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 21 & 21 \end{matrix}) \sim (\begin{matrix} 6 & 9 & 21 \\ 0 & 21 & - 57 \\ 0 & 0 & 78 \end{matrix})$

rank(A) = 3이다. 여기서 rank(A|b) = 3이라는 것도 나온다. 3 × 4 행렬의 계수는 많아야 3이기 때문이다. 미지수가 세 개이므로 연립방정식의 해는 하나뿐이다. 그 해는 어떻게 찾을까?

가우스 소거법

가우스 소거법은 확대행렬을 사다리꼴로 바꾸는 방법이다. 행렬을 사다리꼴로 바꾸면 미지수 하나의 값을 알 수 있다. 미지수 하나의 값을 찾으면 그 값을 다른 방정식에 대입해 나갈 수 있다.

행렬 (A|b)는 다음과 같다.

$(A | b) = (\begin{matrix} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{matrix})$

이 행렬을 사다리꼴로 바꾼다. 앞 단계와 같은 변형을 하는데, 이번에는 네 번째 열에도 똑같이 한다.

$\begin{array}{rcl} (\begin{array}{c} 2 & 3 & 7 & 47 \\ 3 & 8 & 1 & 50 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 6 & 16 & 2 & 100 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 7 & - 19 & - 41 \\ 0 & 3 & 3 & 27 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 21 & 21 & 189 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & 9 & 21 & 141 \\ 0 & 21 & - 57 & - 123 \\ 0 & 0 & 78 & 312 \end{array}) \end{array}$

기본 행 연산만 했으므로 이 행렬은 동치인 연립방정식, 즉 해집합이 같은 연립방정식을 나타낸다. 마지막 행렬의 계수를 써서 연립방정식을 행렬 표기에서 보통의 표기로 다시 쓴다.

$\begin{array}{ccccccc} 6 x_{1} & + & 9 x_{2} & + & 21 x_{3} & = & 141 \\ 21 x_{2} & - & 57 x_{3} & = & - 123 \\ 78 x_{3} & = & 312 \end{array}$

이제 마지막 방정식에서 시작한다. 이 방정식은 78x₃ = 312이다. x₃의 값은 얼마여야 할까? 간단한 일차방정식이므로 다음과 같다.

$\begin{array}{rcl} 78 x_{3} & = & 312 \\ x_{3} & = & \frac{312}{78} \\ x_{3} & = & 4 \end{array}$

첫 번째 미지수 x₃의 값을 구했다. 이 값을 두 번째 방정식에 대입한다. 다음 방정식을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 21 x_{2} - 57 x_{3} & = & - 123 \\ 21 x_{2} - 57 \cdot 4 & = & - 123 \\ 21 x_{2} & = & - 123 + 228 \\ 21 x_{2} & = & 105 \\ x_{2} & = & \frac{105}{21} \\ x_{2} & = & 5 \end{array}$

마지막으로 구한 두 값을 첫 번째 방정식에 대입한다.

$\begin{array}{rcl} 6 x_{1} + 9 x_{2} + 21 x_{3} & = & 141 \\ 6 x_{1} + 9 \cdot 5 + 21 \cdot 4 & = & 141 \\ 6 x_{1} + 45 + 84 & = & 141 \\ 6 x_{1} & = & 12 \\ x_{1} & = & 2 \end{array}$

미지수 x₁의 값은 2이다. 이제 해를 모두 구했다. x = (x₁, x₂, x₃) = (2, 5, 4)라고 쓸 수 있다. 보다시피 가우스 소거법은 연립일차방정식을 푸는 간단하면서도 효과적인 방법이다.

해가 무수히 많은 경우

rank(A) = rank(A|b) = k이고 k가 미지수의 개수보다 작으면, 즉 k < n이면 연립방정식의 해는 무수히 많다. 간단한 예를 보자.

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 12 x_{1} & + & 3 x_{2} & = & 15 \end{array}$

두 번째 방정식은 첫 번째 방정식의 3배이다. 첫 번째 방정식에 −3을 곱해 두 번째 행에 더하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cccccc} 4 x_{1} & + & x_{2} & = & 5 \\ 0 x_{1} & + & 0 x_{2} & = & 0 \end{array}$

이제 미지수의 개수는 2, 즉 n = 2이고, 계수행렬의 계수는 1, 즉 rank(A) = 1이며, 확대행렬의 계수도 1, 즉 rank(A|b) = 1이다. k < n이므로 이 연립방정식의 해는 무수히 많다. 그 해는 어떻게 찾을까?

방정식을 보자. 두 번째 방정식은 모든 x₁, x₂에 대해 성립하므로 첫 번째 방정식만 생각하면 된다. 사실 첫 번째 방정식을 만족하는 순서쌍 x₁, x₂ 전체가 이 연립방정식의 해집합이다. 그래서 방정식 4x₁ + x₂ = 5의 해를 구한다. 방정식을 x₂ = 5 − 4x₁로 정리한다.

여기서 매개변수의 도움을 받는다. 매개변수 t를 잡는다. 이제 순서쌍 x₁, x₂를 매개변수 t로 나타내서, 예를 들어 (t, t + 2) 꼴의 순서쌍은 모두 연립방정식의 해라고 쓸 수 있게 하려는 것이다. 즉 (1, 3)이나 (14, 16) 같은 순서쌍이다. 목적은 한 미지수의 값을 다른 미지수로 나타내서, 예를 들어 x₁의 값이 이러저러하면 x₂의 값은 그 세 배라는 식으로 알 수 있게 하는 것이다. 출발점으로 x₁을 고른다.

t = x₁로 놓는다. 미지수 x₁의 값이 t이면 미지수 x₂의 값은 얼마일까? 앞의 방정식에서 알 수 있듯이 x₂ = 5 − 4x₁이다. 즉 x₁ = t이면 x₂ = 5 − 4t이다. 그러니 (t, 5 − 4t) 꼴의 순서쌍은 모두 연립방정식의 해라고 쓸 수 있다.

확인해 보자. t에 1을 대입하면 x₁ = 1이고 x₂ = 5 − 4 · 1 = 1이다. 이 값을 방정식에 대입하면 4 · 1 + 1 = 5로 방정식이 성립한다.

t에 5를 대입하면 x₁ = 5, x₂ = 5 − 4 · 5 = −15이다. 방정식에 대입하면 4 · 5 − 15 = 5이다. 성립한다.

일반해와 특수해

매개변수를 써서 나타낸 연립방정식의 해를 일반해라고 한다. 구체적인 해, 즉 매개변수에 구체적인 수를 대입한 해를 특수해라고 한다.

그러니 앞의 예에서 (x₁, x₂) = (t, 5 − 4t)는 연립방정식의 일반해이고, (1, 1)과 (5, −15)는 특수해이다.

계수행렬 A와 확대행렬 (A|b)의 계수가 같으면, 즉 rank(A) = rank(A|b) = k이면 일반해를 나타내는 데 매개변수가 n − k개 필요하다. n = k이면 매개변수가 0개 필요하다는 점에 주목하자. 이것이 연립방정식의 해가 하나뿐인 경우이다. 그때는 매개변수가 필요 없다.

예제

다음 연립일차방정식을 푸시오.

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ 5 x_{1} & - & 4 x_{2} & + & 2 x_{3} & + & 10 x_{4} & = & 2 \\ 11 x_{1} & - & 8 x_{2} & + & 10 x_{3} & + & 20 x_{4} & = & 4 \end{array}$

먼저 행렬 A와 (A|b)의 계수를 구한다. 확대행렬을 사다리꼴로 바꾸면 두 행렬의 계수를 모두 알 수 있다. 변형해 보자. (첫 번째 행에 2를 곱하고, 첫 번째 행과 두 번째 행을 더해 그 결과를 세 번째 행에서 뺀다. 다음으로 두 번째 행에서 첫 번째 행을 빼고, 마지막으로 첫 번째 행을 다시 2로 나눈다.)

$\begin{array}{rcl} (A | b) = (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) & \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 11 & - 8 & 10 & 20 & 4 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ 5 & - 4 & 2 & 10 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 6 & - 4 & 8 & 10 & 2 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \\ \sim & (\begin{array}{c} 3 & - 2 & 4 & 5 & 1 \\ - 1 & 0 & - 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}) \end{array}$

이 마지막 행렬에서 rank(A) = rank(A|b) = k = 2임을 알 수 있다. 그런데 미지수의 개수는 n = 4이므로 매개변수가 n − k = 2개 필요하다. 마지막 행렬에 따라 방정식을 쓴다.

$\begin{array}{ccccccccc} 3 x_{1} & - & 2 x_{2} & + & 4 x_{3} & + & 5 x_{4} & = & 1 \\ - x_{1} & - & 6 x_{3} & = & 0 \end{array}$

두 번째 방정식에서 다음을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} - x_{1} - 6 x_{3} & = & 0 \\ - x_{1} & = & 6 x_{3} \\ x_{1} & = & - 6 x_{3} \end{array}$

첫 번째 매개변수를 t = x₃으로 잡는다. 그러면 x₁ = −6t라고 쓸 수 있다. 이것을 첫 번째 방정식에 대입한다.

$\begin{array}{rcl} 3 (- 6 t) - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 18 t - 2 x_{2} + 4 t + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 14 t - 2 x_{2} + 5 x_{4} & = & 1 \\ - 2 x_{2} & = & 1 + 14 t - 5 x_{4} \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} x_{4} \end{array}$

두 번째 매개변수 s = x₄를 들여온다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.

$x_{2} = - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s$

이렇게 연립방정식의 일반해를 얻는다.

$(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (- 6 t, - \frac{1}{2} - 7 t + \frac{5}{2} s, t, s)$

특수해를 몇 개 확인해 보자. 예를 들어 s = t = 0이면 $(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) = (0, - \frac{1}{2}, 0, 0)$ 이다. 원래 방정식

에 대입하면 다음 방정식을 얻는다.

$\begin{array}{ccccccccc} 0 & - & 2 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 1 \\ 0 & - & 4 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 2 \\ 0 & - & 8 \cdot (- \frac{1}{2}) & + & 0 & + & 0 & = & 4 \end{array}$

0인 항을 없애고 분수를 곱하면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

다른 특수해 s = 2, t = 1도 확인해 보자. 그러면 다음을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} x_{1} & = & - 6 \\ x_{2} & = & - \frac{1}{2} - 7 + 5 = - \frac{5}{2} \\ x_{3} & = & 1 \\ x_{4} & = & 2 \end{array}$

방정식에 대입한다.

$\begin{array}{ccccccccc} - 18 & - & 2 (- \frac{5}{2}) & + & 4 & + & 10 & = & 1 \\ - 30 & - & 4 (- \frac{5}{2}) & + & 2 & + & 20 & = & 2 \\ - 66 & - & 8 (- \frac{5}{2}) & + & 10 & + & 40 & = & 4 \end{array}$

정리한다.

$\begin{array}{ccccccccc} - 4 & + & 5 & = & 1 \\ - 8 & + & 10 & = & 2 \\ - 16 & + & 20 & = & 4 \end{array}$

마지막으로 다음을 얻는다.

$\begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 & = & 2 \\ 4 & = & 4 \end{array}$

구한 일반해가 맞는 것 같다.

목차: 연립일차방정식, 크라메르 공식, 동차 연립일차방정식

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