Persamaan linear

Persamaan linear ialah persamaan yang boleh diubah kepada bentuk ax + b = 0, dengan a ≠ 0. Contoh khusus boleh kelihatan seperti ini: 2x + 4 = 0. Penyelesaian persamaan ini ialah nombor −2, dan hal ini boleh diteka secara logik dengan agak mudah. Jika nombornya lebih besar sedikit, tekaan seperti itu tidak lagi mudah, jadi kita memerlukan kaedah yang lebih tersusun.

Bentuk am persamaan linear

Lebih tepat lagi, persamaan linear ialah persamaan dalam satu anu x yang boleh diubah kepada bentuk ax + b = 0 dengan a ≠ 0 menggunakan operasi setara. Anu di dalamnya tidak dinaikkan kuasa, tidak berada di bawah punca kuasa dan sebagainya. Persamaan dengan anu dalam penyebut pecahan boleh diubah kepada bentuk ini hanya dengan syarat penyebutnya bukan sifar. Oleh itu, persamaan seperti ini diselesaikan secara berasingan, lihat persamaan linear dengan anu dalam penyebut. Perhatikan contoh pelbagai persamaan linear:

$$\begin{array}{rcl}2x+7& =& 0\\ x-2& =& 74\\ (x+3)-(7x\cdot 3)& =& -12x\\ \frac{x}{2}+\frac{3x}{72}& =& x\cdot \frac{45}{8}+1\end{array}$$

Seperti yang anda lihat, persamaan linear boleh mempunyai pelbagai rupa. Supaya mudah diselesaikan, kita perlu terlebih dahulu menyeragamkannya kepada satu bentuk yang dipanggil bentuk am:

$$ax+b=0,$$

dengan x ialah anu, manakala a dan b ialah sebarang nombor nyata yang dipanggil pekali persamaan. Nombor a tidak boleh sifar, iaitu a ≠ 0. Ungkapan ax dipanggil sebutan linear, dan ungkapan b dipanggil sebutan pemalar.

Untuk menyelesaikan persamaan linear, kita memerlukan operasi setara, iaitu operasi yang tidak mengubah penyelesaian persamaan. Tanpa operasi ini, persamaan yang lebih rumit tidak dapat diselesaikan. Kita boleh mengubah persamaan kepada bentuk am sama ada dengan mempermudahkan ungkapan dalam persamaan itu sendiri atau dengan operasi setara ke atas persamaan.

Mari kita kembali kepada contoh di atas. Persamaan pertama, 2x + 7 = 0, sudah dalam bentuk am, jadi kita terus nampak pekalinya: a = 2 dan b = 7. Persamaan kedua, x − 2 = 74, tidak semudah itu. Dengan operasi setara, kita tambahkan nombor −74 pada kedua-dua belah (atau dengan kata lain, tolak 74 daripada kedua-dua belah) dan memperoleh x − 76 = 0. Persamaan ini sudah dalam bentuk am dengan pekali a = 1 dan b = −76.

Persamaan ketiga masih jauh daripada bentuk am, tetapi kita tetap dapat menanganinya. Mula-mula, kita “hasilkan” sifar di sebelah kanan: tambahkan ungkapan 12x pada kedua-dua belah. Sebelah kanan menjadi sifar kerana (−12x) + 12x = 0. Seluruh persamaan menjadi:

$$(x+3)-(7x\cdot 3)+12x=0$$

Sekarang kita hanya perlu membuang tanda kurung dan menambahkan sebutan yang mengandungi x.

$$\begin{array}{rcl}(x+3)-(7x\cdot 3)+12x& =& 0\\ x+3-21x+12x& =& 0\\ -8x+3& =& 0\end{array}$$

Persamaan linear ini dalam bentuk am, dan pekalinya ialah a = −8 dan b = 3.

Dalam persamaan terakhir, kita perlu menghapuskan pecahan. Oleh itu, kita darab seluruh persamaan dengan nombor 72, yang boleh dibahagi tepat dengan semua penyebut:

$$72\cdot \frac{x}{2}+72\cdot \frac{3x}{72}=72x\cdot \frac{45}{8}+72\cdot 1$$

Sekarang kita permudahkan pecahan:

$$36x+3x=9x\cdot 45+72$$

Di sebelah kiri kita tambah, dan di sebelah kanan kita darab:

$$39x=405x+72$$

Tinggal satu langkah terakhir: tolak 405x dan 72 daripada kedua-dua belah, dan persamaan itu kini dalam bentuk am:

$$-366x-72=0$$

Jadi, pekalinya ialah a = −366 dan b = −72.

Cara menyelesaikan persamaan linear

Persamaan linear dalam bentuk am mudah diselesaikan. Mari kita lihat contoh: 3x − 18 = 0. Daripada nombor apakah kita perlu menolak 18 untuk memperoleh sifar? Daripada 18 juga. Jadi, supaya ungkapan 3x − 18 sama dengan sifar, ungkapan 3x mesti sama dengan 18, kerana 18 − 18 = 0. Bilakah ungkapan 3x sama dengan 18? Apabila x = 6, kerana 3 · 6 = 18.

Bagaimanakah kita memperoleh kaedah umum daripada contoh ini? Pertama, kita perlu menentukan nilai sebutan linear ax. Caranya ialah memindahkan sebutan pemalar ke sebelah kanan persamaan, iaitu menambahkan −b pada persamaan. Kita memperoleh persamaan dalam bentuk ax + b − b = −b, iaitu ax = −b. Bagi contoh tadi, kita memperoleh 3x − 18 + 18 = 18, iaitu 3x = 18. Jangan lupa bahawa nombor b ialah b = −18, jadi jika kita menambahkan −b, kita menambahkan −(−18), iaitu +18.

Persamaan kini dalam bentuk ax = −b. Bagaimanakah kita memperoleh x secara langsung? Dalam contoh tadi, kita mencari x yang apabila didarab dengan tiga memberikan 18. Apakah yang sebenarnya kita lakukan? Kita mengira 18/3 = 6. Dengan kata lain, kita mengambil ungkapan di sebelah kanan (−b) dan membahaginya dengan nilai a, iaitu tiga dalam contoh ini. Jadi, daripada ax = −b kita memperoleh

$$x=\frac{-b}{a}=-\frac{b}{a}$$

Seluruh langkah bagi contoh pertama kelihatan seperti ini:

$$\begin{array}{rcl}3x-18& =& 0\text{(tambah 18)}\\ 3x& =& 18\text{(bahagi dengan 3)}\\ x& =& 6\end{array}$$

Maksud geometri

Jika kita mengubah persamaan linear kepada bentuk am, kita memperoleh fungsi linear di sebelah kiri. Graf fungsi linear ialah garis lurus. Oleh sebab bentuk am persamaan linear ialah ax + b = 0, penyelesaian persamaan ini ialah titik tempat garis lurus itu (graf fungsi linear) menyilang paksi-x (yang juga merupakan graf fungsi f(x) = 0, iaitu sebelah kanan).

Contohnya, kita mendapati bahawa penyelesaian persamaan 3x − 18 = 0 ialah x = 6. Apakah maksudnya? Graf fungsi 3x − 18 menyilang paksi-x pada titik x = 6.

Mari kita cuba menyelesaikan persamaan 5x + 2 = 2x − 7 secara graf. Bagaimanakah caranya? Kita boleh mengubah persamaan kepada bentuk am: tambahkan −2x untuk memperoleh 3x + 2 = −7, kemudian tambahkan 7: 3x + 9 = 0. Sekarang kita lakarkan graf fungsi linear y = 3x + 9 dan lihat di mana graf itu menyilang paksi-x.

Cara kedua ialah tidak mengubah persamaan langsung, sebaliknya melakar graf fungsi di kedua-dua belah persamaan, iaitu graf fungsi f(x) = 5x + 2 dan g(x) = 2x − 7.

Kedua-dua garis lurus ini bersilang pada satu titik yang ditandakan sebagai A. Apakah koordinat-x bagi titik A ini? Sekali lagi x = −3. Jadi, penyelesaian graf bagi persamaan 5x + 2 = 2x − 7 ialah koordinat-x bagi titik persilangan graf fungsi di sebelah kiri dengan graf fungsi di sebelah kanan.

Contoh soalan dan penyelesaian

Contoh pertama: Mari kita selesaikan persamaan 7x − 14 = 0. Keadaannya mudah kerana persamaan ini sudah dalam bentuk am, jadi kita hanya mengikut langkah-langkahnya:

$$\begin{array}{rcl}7x-14& =& 0\text{(tambah 14)}\\ 7x& =& 14\text{(bahagi dengan 7)}\\ x& =& 2\end{array}$$

Contoh kedua: Selesaikan persamaan 2x + 10 = 0. Persamaan ini juga dalam bentuk am, tetapi perhatikan bahawa b positif, jadi selepas operasi itu anda akan memperoleh nombor negatif di sebelah kanan:

$$\begin{array}{rcl}2x+10& =& 0\text{(tolak 10)}\\ 2x& =& -10\text{(bahagi dengan 2)}\\ x& =& -5\end{array}$$

Contoh ketiga: Selesaikan persamaan 15 − 3x = 0. Persamaan ini hampir dalam bentuk am. Kita hanya perlu meletakkan anu x di hadapan, lalu memperoleh persamaan −3x + 15 = 0. Sekali lagi, perhatikan bahawa terdapat tanda negatif di hadapan sebutan linear, sesuatu yang belum kita temui sebelum ini. Namun, operasinya tetap sama:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0\text{(tolak 15)}\\ -3x& =& -15\text{(bahagi dengan }(-3)\text{)}\\ x& =& 5\end{array}$$

Contoh ini juga boleh diselesaikan dengan cara lain yang sedikit lebih panjang. Daripada terus membahagi persamaan dengan −3, kita boleh terlebih dahulu mendarab persamaan dengan −1 untuk menghapuskan kedua-dua tanda negatif. Selepas itu, kita bahagikan persamaan dengan tiga:

$$\begin{array}{rcl}-3x+15& =& 0\text{(tolak 15)}\\ -3x& =& -15\text{(darab dengan }(-1)\text{)}\\ 3x& =& 15\text{(bahagi dengan 3)}\\ x& =& 5\end{array}$$

Contoh keempat: Selesaikan persamaan linear

$$3+\frac{x}{4}=\frac{x}{2}$$

Persamaan ini sedikit lebih rumit kerana mengandungi pecahan. Pertama, kita perlu menghapuskan pecahan itu. Cara terbaik ialah mendarab seluruh persamaan dengan gandaan sepunya terkecil bagi semua penyebut. Penyebutnya ialah 4 dan 2, dan GSTK-nya ialah 4. Jika anda malas mengiranya, anda boleh mendarab seluruh persamaan dengan hasil darab semua penyebut, iaitu 4 · 2 = 8, tetapi cara ini tidak disyorkan kerana langkah seterusnya menjadi lebih sukar. Jika kita mendarab persamaan dengan empat, pecahan akan hilang apabila kita mempermudahkannya satu demi satu:

$$\begin{array}{rcl}3+\frac{x}{4}& =& \frac{x}{2}\text{(darab dengan 4)}\\ 4\cdot 3+4\cdot \frac{x}{4}& =& 4\cdot \frac{x}{2}\\ 12+\frac{4x}{4}& =& \frac{4x}{2}\\ 12+x& =& 2x\end{array}$$

Sekarang kita ubah persamaan kepada bentuk am: x − 12 = 0, dan daripada persamaan ini jelas bahawa x = 12.

Contoh kelima (soalan berayat): Terdapat dua beradik, Hafiz dan Ahmad. Ahmad terus bekerja selepas tamat sekolah menengah, manakala Hafiz menyambung pelajaran di universiti selama lima tahun. Ahmad menerima gaji RM2 500 sebulan. Walaupun Hafiz mengambil jurusan rekreasi dengan pengkhususan berbaring di atas kerusi rehat, dia berjaya mendapat pekerjaan dalam sektor awam dengan gaji RM3 500 sebulan. Selepas berapa lama jumlah pendapatan Hafiz akan sama dengan jumlah pendapatan Ahmad? Sebagai penjelasan: dalam lima tahun, Ahmad memperoleh 5 · 12 · 2 500 ringgit, manakala Hafiz masih belum memperoleh apa-apa selepas lima tahun. Selepas berapa bulan jumlah ini menjadi sama?

Daripada soalan, kita boleh membina persamaan linear seperti berikut: pemboleh ubah x mewakili bilangan bulan yang dicari, dengan x = 0 bermaksud sifar bulan sejak Hafiz tamat pengajian.

Mula-mula, kita bina fungsi yang menentukan pendapatan Hafiz bergantung pada bilangan bulan. Contohnya, jika kita mahu tahu pendapatan Hafiz selepas enam bulan, kita kira sahaja 3 500 · 6 = 21 000 ringgit. Secara umum, selepas x bulan Hafiz memperoleh 3 500 · x ringgit secara keseluruhan.

Bagi Ahmad pula, pendapatannya ialah 2 500 · x, tetapi kita perlu menambahkan jumlah yang diperolehnya semasa Hafiz belajar. Hafiz belajar selama lima tahun, jadi dalam tempoh itu Ahmad memperoleh 5 · 12 · 2 500 ringgit. Oleh itu, rumus bagi Ahmad ialah: 5 · 12 · 2 500 + 2 500 · x.

Kita samakan kedua-dua fungsi ini kerana kita mahu tahu bagi nilai x yang manakah pendapatan mereka sama:

$$5\cdot 12\cdot 2500+2500\cdot x=3500\cdot x$$

Kita ubah persamaan ini dengan memindahkan semua sebutan x ke satu belah persamaan:

$$1000x=5\cdot 12\cdot 2500$$

Akhir sekali, kita bahagikan dengan 1 000:

$$x=5\cdot 12\cdot 2.5=150$$

Selepas 150 bulan, kedua-dua mereka akan memperoleh jumlah wang yang sama. Semasa Hafiz belajar, Ahmad memperoleh 5 · 12 · 2 500 = 150 000 ringgit, dan dalam 150 bulan berikutnya dia memperoleh 2 500 · 150 = 375 000 lagi, iaitu sejumlah 150 000 + 375 000 = 525 000 ringgit. Hafiz hanya bekerja selama 150 bulan itu dan memperoleh 3 500 · 150 = 525 000 ringgit. Jelaslah bahawa selepas lima tahun pengajian dan 150 bulan berikutnya, kedua-dua mereka memang memperoleh jumlah yang sama.

Contoh lain

Selesaikan persamaan linear berikut:

$$2\cdot (x-7)=6$$

Pertama, kita kembangkan kurungan:

$$2x-14=6$$

Sekarang kita kekalkan ungkapan yang mengandungi anu di sebelah kiri dan pindahkan semua yang lain ke sebelah kanan:

$$2x=20$$

… dan akhirnya kita bahagikan dengan dua.

$$x=10$$

Selesaikan persamaan

$$3\cdot (3-x)+5\cdot (x-2)=0$$

Sekali lagi, kita kembangkan kurungan terlebih dahulu:

$$9-3x+5x-10=0$$

Kita tambahkan sebutan yang boleh ditambah, kemudian pindahkan pemboleh ubah ke sebelah kiri dan yang selebihnya ke sebelah kanan:

$$\begin{array}{rcl}9-3x+5x-10& =& 0\\ 2x-1& =& 0\\ 2x& =& 1\end{array}$$

Akhir sekali, kita bahagikan seluruh persamaan dengan dua:

$$x=\frac{1}{2}$$