Vectoren

Een vector is een grootheid die naast een grootte ook een richting heeft. Daarin verschilt hij van een gewoon getal, een scalair, dat alleen een grootte heeft.

Gericht lijnstuk

In het vlak hebben we twee verschillende punten A, B. Tussen die punten kunnen we een lijnstuk trekken. Zo'n lijnstuk noteren we meestal als AB, maar de volgorde van de punten maakt niet uit. Lijnstuk AB is precies hetzelfde als lijnstuk BA.

Dat komt niet altijd goed uit. Daarom voeren we het begrip gericht lijnstuk in, waarbij we een beginpunt en een eindpunt onderscheiden. Het gerichte lijnstuk AB heeft beginpunt A en eindpunt B. In een tekening geven we een gericht lijnstuk aan met een pijl, in de tekst schrijven we het met een pijltje boven de punten: $\overrightarrow{AB}$. Een voorbeeld:

Blauw is lijnstuk AB getekend, rood het gerichte lijnstuk $\overrightarrow{CD}$. Als voor een gericht lijnstuk $\overrightarrow{AB}$ geldt dat A = B, dan noemen we het een nulpijl (een gericht lijnstuk met lengte 0). Zo'n lijnstuk heeft hetzelfde begin- en eindpunt. Je zou het bijna geen lijnstuk noemen, want het is eigenlijk maar één punt.

De lengte van een gericht lijnstuk is gelijk aan de lengte van het gewone lijnstuk. Er geldt $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Richting van een gericht lijnstuk

Kijk naar de volgende twee gerichte lijnstukken $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{CD}$:

Op het eerste gezicht zie je dat deze gerichte lijnstukken dezelfde richting hebben. We zouden het begrip “richting” netjes kunnen definiëren, maar we houden het liever bij het intuïtieve begrip. Kort gezegd hebben gerichte lijnstukken dezelfde richting als ze evenwijdig zijn en het ene niet de andere kant op wijst dan het andere. Dit zijn allemaal paren gerichte lijnstukken met dezelfde richting:

De laatste, groene lijnstukken zijn de gerichte lijnstukken $\overrightarrow{IJ}$ en $\overrightarrow{IK}$. Hierna volgen paren lijnstukken die niet dezelfde richting hebben:

Wat is een vector

Laten we teruggaan naar de tekening met twee gerichte lijnstukken met dezelfde richting:

We zien dat deze gerichte lijnstukken niet alleen dezelfde richting hebben, maar ook even lang zijn. Het enige verschil is dat ze ergens anders staan. Gerichte lijnstukken met dezelfde richting en dezelfde lengte stellen één en dezelfde vector voor.

Eén vector kunnen we dus op oneindig veel manieren tekenen, in het vlak (of in de ruimte, …). We nemen gewoon een willekeurig gericht lijnstuk met dezelfde richting en dezelfde lengte als de gegeven vector. De volgende gerichte lijnstukken stellen allemaal dezelfde vector voor:

Een vector is alleen bepaald door zijn lengte en richting. De lengte en richting van een vector zijn gelijk aan de lengte en richting van het gerichte lijnstuk dat de vector voorstelt. Vectoren noteren we met een pijltje boven de letter, net als gerichte lijnstukken. We kunnen dus de vector $\overrightarrow{AB}$ hebben, of korter de vector $\overrightarrow{u}$.

Een bepaald gericht lijnstuk is dan een pijl (representant) van de vector. In de vorige tekening hebben we in totaal 7 gerichte lijnstukken, die elk een andere plaats van de vector aangeven. De gerichte lijnstukken $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{MN}$ stellen dezelfde vector voor, laten we zeggen $\overrightarrow{v}$, maar het zijn twee verschillende pijlen van $\overrightarrow{v}$.

Collineaire vectoren

We hebben twee vectoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. We noemen deze vectoren collineair als ze evenwijdig zijn. De vectoren $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ hoeven niet even lang te zijn. De richting moet gelijk zijn of tegengesteld. Voorbeelden van collineaire vectoren:

Alle rode vectoren zijn collineair, want ze zijn evenwijdig. Verder maakt de richting niet uit: het maakt niet uit of ze naar rechtsboven wijzen of naar linksonder. De blauwe vector $\overrightarrow{GH}$ is niet collineair.

Als collineaire vectoren dezelfde richting hebben, noemen we ze gelijkgericht, en als ze niet dezelfde richting hebben, zijn ze tegengesteld gericht. Terug naar de vorige tekening: de vectoren $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{EF}$ zijn gelijkgericht, de vectoren $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{KL}$ zijn tegengesteld gericht.

Coördinaten van een vector

We weten al dat één vector door oneindig veel gerichte lijnstukken kan worden voorgesteld. Een van die lijnstukken heeft zijn beginpunt in de oorsprong van het coördinatenstelsel, in het punt (0, 0) als we in het vlak werken en in het punt (0, 0, 0) als we in de ruimte werken. Kijk naar de volgende tekening:

De gerichte lijnstukken $\overrightarrow{AB}$ en $\overrightarrow{CD}$ hebben dezelfde richting en dezelfde lengte, het is één vector. Daarbij begint lijnstuk $\overrightarrow{CD}$ in de oorsprong van het coördinatenstelsel: de coördinaten van punt C zijn (0, 0). Hetzelfde geldt voor het paar lijnstukken $\overrightarrow{EF}$ en $\overrightarrow{KL}$.

Als we weten dat de lijnstukken $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ in de oorsprong beginnen, kunnen we afspreken dat we deze vectoren alleen met hun eindpunt aangeven. Het beginpunt is steeds hetzelfde (het is de oorsprong van het coördinatenstelsel), dus om de lijnstukken $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ te onderscheiden volstaat het hun eindpunten op te schrijven.

We zeggen dat de vector $\overrightarrow{AB}$, en dus ook de vector $\overrightarrow{CD}$, de coördinaten $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$ heeft. Dat zijn de coördinaten van punt D, het eindpunt van lijnstuk $\overrightarrow{CD}$. De vector $\overrightarrow{KL}$ heeft dan de coördinaten $\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right)$, de coördinaten van punt F.

Hoe bereken je de coördinaten van een vector

Nu de rekenkundige manier om de coördinaten van een vector te bepalen. We gaan ervan uit dat we de coördinaten kennen van de punten A, B die de vector $\overrightarrow{u}$ bepalen. We hebben dus een vector $\overrightarrow{u}$, bepaald door de punten A(2, 3) en B(5, 4). Het is de rode vector die in de vorige tekening hoger staat. Hoe vinden we de coördinaten van punt D, dus van het eindpunt van het gerichte lijnstuk dat de vector $\overrightarrow{u}$ voorstelt en in de oorsprong begint?

We verschuiven het hele lijnstuk $\overrightarrow{AB}$ naar de oorsprong van het coördinatenstelsel. Om punt A in de oorsprong te krijgen, moeten we het 2 hokjes naar links en 3 hokjes naar beneden verschuiven. Met punt B doen we hetzelfde. Anders gezegd: van beide punten A en B trekken we de coördinaten van punt A af. Daarmee verschuiven we lijnstuk $\overrightarrow{AB}$ naar de plaats waar lijnstuk $\overrightarrow{CD}$ getekend is. We kunnen schrijven:

$$\begin{array}{rcl}A-A=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)\\ B-A=\left(\begin{array}{c}5\\ 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)\end{array}$$

De coördinaten van de vector $\overrightarrow{u}$ zijn dan $\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$, het eindpunt van het gerichte lijnstuk dat in de oorsprong begint.

We kunnen opschrijven dat voor een vector $\overrightarrow{u}$ die bepaald is door de punten A(x₁, y₁) en B(x₂, y₂) de coördinaten van $\overrightarrow{u}$ zo worden gevonden:

$$B-A=\left(\begin{array}{c}{x}_2-x_1\\ y_2-y_1\end{array}\right)$$

De coördinaten van een vector $\overrightarrow{u}$ schrijven we als kolom tussen ronde haken, dus de coördinaten van de vorige vector $\overrightarrow{u}$ schrijven we zo op: $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)$.

We kunnen nog terugkeren naar de tekening en de coördinaten van de vector $\overrightarrow{KL}$ berekenen. De coördinaten van de punten K en L zijn K(−2, 1), L(−3, 5). De coördinaten van de vector worden dan

$$L-K=\left(\begin{array}{c}-3\\ 5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right)$$

We zien dat we inderdaad de coördinaten van punt F hebben gekregen.

Hoe bereken je de lengte van een vector

Als we de coördinaten van vectoren kennen, kunnen we gemakkelijk hun lengte berekenen. Met de stelling van Pythagoras leiden we vrij eenvoudig af dat de lengte van een vector met coördinaten $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)$ in het vlak gelijk is aan

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

In de volgende tekening zien we dat de coördinaten van de vector overeenkomen met de lengten van de zijden van de driehoek die we hebben gemaakt, en dat we na toepassing van de stelling van Pythagoras de lengte van de vector inderdaad gemakkelijk berekenen.

Voor de vector $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)$ is de lengte

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

En nu volgen twee voorbeelden om de behandelde stof te oefenen.

1. Bepaal de coördinaten van de vector $\overrightarrow{u}$ die gegeven is door de punten A(3, 7), B(−1, 0). Hier is de aanpak heel eenvoudig en rechttoe rechtaan. $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\end{array}\right)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   De vector heeft dus de coördinaten $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}-4\\ -7\end{array}\right)$

2. We weten dat de vector $\overrightarrow{u}$ de coördinaten $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)$ heeft en wordt gevormd door de punten A(6, 6) en B(x₁, y₁), dus $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$. Bepaal de coördinaten van punt B.

   We stellen weer onze oude bekende vergelijking op en maken daaruit alleen de onbekende vrij:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   De tweede coördinaat vinden we op precies dezelfde manier:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Punt B heeft de coördinaten (8, 9).