✖

Naturlige tall

Naturlige tall er de tallene vi oftest møter i hverdagen. Det er de positive heltallene, altså tallene 1, 2, 3, 4, …

Skrivemåte

De naturlige tallene danner en mengde som inneholder de positive heltallene 1, 2, 3, 4, … Mengden skriver vi vanligvis med bokstaven N med en dobbel første strek, slik: ℕ. Symbolet kommer av det engelske «naturals».

Noen ganger regner vi med at mengden av naturlige tall også inneholder null. Når vi må skille mellom de to, bruker vi vanligvis ℕ for mengden uten null, og hvis vi vil ha med null, setter vi en null som indeks: ℕ0. Ofte bruker vi også en stjerne, ℕ*, for å understreke at vi regner med de naturlige tallene uten null.

Vi bruker naturlige tall først og fremst til å angi antall («vi har tre stoler hjemme», «det er tretti benker i parken», …) og til å angi rekkefølge («det første mennesket på månen», «Canada er det nest største landet i verden», …).

Egenskaper

De naturlige tallene har noen interessante egenskaper:

  1. Mengden av naturlige tall er uendelig, men den er tellbar: vi kan ordne alle tallene i en følge.
  • De naturlige tallene er lukket under addisjon og multiplikasjon. Det betyr at hvis vi multipliserer eller legger sammen to naturlige tall, får vi igjen et naturlig tall.
  • De er ikke lukket under subtraksjon, for hvis vi trekker et større tall fra et mindre, får vi et negativt tall.
  • På samme måte er de heller ikke lukket under divisjon, for eksempel er 7/2 ikke et naturlig tall.

Divisjon med rest

I forrige avsnitt sa vi at de naturlige tallene ikke er lukket under divisjon. Vi kan likevel definere divisjon med rest, og den kjenner du sikkert godt. Hvis vi regner ut 7/2, får vi 3,5. Hvis vi bruker divisjon med rest, får vi svaret 3 og resten 1. Altså: hvis vi regner ut 3 · 2 og legger til resten, får vi 7 tilbake: 3 · 2 + 1 = 7.

De naturlige tallene er altså ikke lukket under denne operasjonen, men de naturlige tallene med null er det. Både kvotienten og resten ligger i mengden ℕ0.

Definisjonen av divisjon med rest ser slik ut:

a=bq+r;a,q,r∈N0,b∈N,r<b

I definisjonen delte vi a:b. Tallet r kalles resten, og q er kvotienten. Hva betyr betingelsene? Vi regner med de naturlige tallene inkludert null, men siden vi ikke kan dele på null, velger vi b fra mengden uten null.

Som eksempel regner vi ut 19:5. Da er a = 19 og b = 5. Oppdelingen blir slik:

19=5⋅3+4

Altså er q = 3, som er kvotienten, og r = 4, som er resten.

Lenker