Løse en formel for en variabel

Hvordan uttrykker vi én bestemt variabel ut fra en mer komplisert sammenheng eller en brøk? Denne teknikken brukes spesielt når vi arbeider med ulike formler som inneholder flere variabler. Kombinert med andre formler kan vi få til helt utrolige ting, der vi utleder alt ut av ingenting.

Enkle lineære uttrykk

La oss ta denne formelen: ax + b = c. Hvordan isolerer vi x i denne tenkte formelen? Vi begynner alltid med å flytte alle uttrykk med variabelen vi vil isolere, over på venstre side, og resten over på høyre side. I teorien spiller det ingen rolle hva som står på hvilken side, men det er vanlig å ha den ukjente vi løser for, til venstre. Så først flytter vi b over på høyre side, altså vi legger til −b på begge sider av likningen:

$$\begin{array}{rcl}ax+b& =& c/-b\\ ax& =& c-b\end{array}$$

Uttrykkene med variabelen står på én side, men a er fortsatt i veien. Hvordan blir vi elegant kvitt den? Hva må vi gjøre med uttrykket ax for å få bare x? Ja, vi deler uttrykket, og dermed hele likningen, på a, eller med andre ord multipliserer med $\frac{1}{a}$. Verdien av a må da være forskjellig fra null (vi kan ikke dele på null). Når vi gjør det, får vi:

$$\begin{array}{rcl}ax& =& c-b\cdot \frac{1}{a}(a\ne 0)\\ x& =& \frac{c-b}{a}\end{array}$$

Ferdig. Et nytt eksempel:

$$2ax-3bx=10a$$

Igjen skal vi isolere x. Uttrykkene med den ukjente står allerede på venstre side, så vi har spart litt arbeid. Men det er en komplikasjon, for vi har to uttrykk med den ukjente. Dette løser vi ved å sette utenfor en felles faktor. Fra venstre side av likningen setter vi x utenfor en parentes og får:

$$\begin{array}{rcl}2ax-3bx& =& 10a\\ x(2a-3b)& =& 10a\end{array}$$

I det forrige eksemplet hadde vi uttrykket ax og ville ha bare x, og da multipliserte vi hele likningen med $\frac{1}{a}$. Nå har vi uttrykket x(2a − 3b) i likningen, og igjen vil vi finne x. Vi gjør det samme og deler hele likningen på uttrykket (2a − 3b). Ikke vær redd, vi kan virkelig dele likningen på en hel parentes, det må bare gjelde at 2a − 3b ≠ 0.

$$\begin{array}{rcl}x(2a-3b)& =& 10a/\cdot \frac{1}{2a-3b}\\ x& =& \frac{10a}{2a-3b}\end{array}$$

Brøker

Hvis vi har et uttrykk med brøker, bruker vi de samme omformingene av likninger, men vi må passe på at vi ikke ved et uhell deler eller multipliserer med null. Eksempel:

$$\frac{a}{x}=\frac{b}{c}$$

Vi vil isolere x. Vi multipliserer hele likningen med x, og vi må bare legge til forutsetningen at x ≠ 0. Det gjelder uansett, for i likningen står brøken $\frac{a}{x}$ med x i nevneren, og vi kan ikke dele på null. Vi får dermed likningen:

$$\begin{array}{rcl}\frac{a}{x}& =& \frac{b}{c}/\cdot x(x\ne 0)\\ a& =& \frac{bx}{c}/\cdot c(c\ne 0)\\ ac& =& bx\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)\\ \frac{ac}{b}& =& x\\ x& =& \frac{ac}{b}\end{array}$$

Når du isolerer en ukjent, bruker du rett og slett de vanlige ekvivalente omformingene av likninger.