Pascals trekant

Pascals trekant er bygd opp av tall, og det gjelder at et tall som står under to andre tall, er lik summen av dem. La oss konstruere en slik Pascals trekant og deretter se hva den kan brukes til.

Slik konstruerer du Pascals trekant

Langs sidene i trekanten vår skriver vi bare enere, og innsiden av trekanten fyller vi foreløpig med spørsmålstegn:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & ?& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Nå regner vi ut det første spørsmålstegnet. Vi legger sammen de to tallene over det og får 1 + 1 = 2:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & ?& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

På tilsvarende måte regner vi ut spørsmålstegnene i den neste raden. Først får vi 1 + 2 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & ?& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Og så får vi 2 + 1 = 3:

$$\begin{array}{cccccccccccccc}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & ?& & ?& & ?& & 1& & \end{array}$$

Slik fortsetter vi, og med hver ny rad får vi en ny del av Pascals trekant:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Pascals trekant er selvfølgelig uendelig, vi kan hele tiden lage flere og flere rader. Men det gjelder alltid at vi har enere på kantene, og inne i trekanten har vi tall som er summen av tallene over dem. For eksempel er tallet 15 i den siste raden summen av tallene 5 og 10 over det.

Grunnleggende egenskaper ved Pascals trekant

Den første grunnleggende egenskapen har vi allerede sagt: langs sidene i trekanten har vi alltid enere:

$$\begin{array}{}& & & & & & & \boxed{\text{1}}& & & & & & \\ & & & & & & \boxed{\text{1}}& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & \boxed{\text{1}}& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & \boxed{\text{1}}& & 3& & 3& & \boxed{\text{1}}& & & \\ & & & \boxed{\text{1}}& & 4& & 6& & 4& & \boxed{\text{1}}& & \\ & & \boxed{\text{1}}& & 5& & 10& & 10& & 5& & \boxed{\text{1}}& \\ & \boxed{\text{1}}& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & \boxed{\text{1}}& \end{array}$$

I den «andre diagonalen» har vi alltid alle naturlige tall:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & \boxed{\text{1}}& & & & & \\ & & & & & 1& & \boxed{\text{2}}& & 1& & & & \\ & & & & 1& & \boxed{\text{3}}& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & \boxed{\text{4}}& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & 10& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & \boxed{\text{6}}& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

La du forresten merke til at Pascals trekant er symmetrisk? Hver rad er den samme, enten du leser den fra venstre mot høyre eller fra høyre mot venstre.

Trekanttall

I den tredje diagonalen har vi så tallene 1, 3, 6, 10, 15…

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & \boxed{\text{1}}& & & & \\ & & & & 1& & 3& & \boxed{\text{3}}& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & \boxed{\text{6}}& & 4& & 1& & \\ & & 1& & 5& & \boxed{\text{10}}& & 10& & 5& & 1& \\ & 1& & 6& & \boxed{\text{15}}& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Hva er interessant ved dem? Disse tallene kaller vi trekanttall. Tenk deg at du har noen sirkler og vil legge dem sammen i form av en trekant. Hvor mange sirkler trenger du? Se på følgende bilde:

Vi ser at for en trekant med sidelengde 1 trenger vi akkurat én sirkel. For sidelengde to trenger vi tre sirkler, for sidelengde tre trenger vi seks sirkler, og for sidelengde fire trenger vi ti sirkler. Antallet sirkler vi trenger, er alltid et trekanttall, som vi finner i Pascals trekant.

Radsummer

Hva om vi prøver å legge sammen hver rad i Pascals trekant?

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & & =1\\ & & & & & & 1& & 1& & & & & & =2\\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & & =4\\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & & =8\\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & & =16\\ & & 1& & 5& & 10& & 10& & 5& & 1& & =32\\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1& =64\end{array}$$

Vi ser at summen av hver rad er dobbelt så stor som summen av den forrige raden. Alle summene er altså lik en potens av tallet to. Hvis vi kaller den øverste raden rad null, kan vi skrive at summen av rad nummer n i Pascals trekant er lik 2ⁿ.

Primtall

La oss kalle den øverste raden i trekanten rad null. Da gjelder det at når vi velger en rad nummer n, der n er et primtall, er alle tallene i denne raden delelige med akkurat tallet n (bortsett fra enerne på kantene).

Som eksempel kan vi ta n = 5. Tallet fem er et primtall. Rad nummer fem ser slik ut:

$$\begin{array}{}& & & & & & & 1& & & & & & \\ & & & & & & 1& & 1& & & & & \\ & & & & & 1& & 2& & 1& & & & \\ & & & & 1& & 3& & 3& & 1& & & \\ & & & 1& & 4& & 6& & 4& & 1& & \\ & & 1& & \boxed{\text{5}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{10}}& & \boxed{\text{5}}& & 1& \\ & 1& & 6& & 15& & 20& & 15& & 6& & 1\end{array}$$

Hvert av disse markerte tallene er delelig med fem.

Binomialformelen

Du kjenner sikkert formlene for å regne ut (a + b)² eller (a + b)³:

$$\begin{array}{rcl}(a+b{)}^2& =& a^2+2ab+b^2\\ (a+b{)}^3& =& a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3\end{array}$$

Vi kan legge merke til at koeffisientene foran de enkelte leddene svarer til tallene i Pascals trekant. La oss for eksempel se på uttrykket

$$a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$$

Først skriver vi inn multiplikasjon med én foran a³ og b³, så det blir tydeligere:

$$1a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+1b^3$$

Nå ser vi at koeffisientene vi multipliserer leddene med, er de samme som i rad nummer tre i Pascals trekant (hvis vi regner den øverste raden som nummer null):

$$\boxed{\text{1}}{a}^3+\boxed{\text{3}}{a}^{2}b+\boxed{\text{3}}a{b}^2+\boxed{\text{1}}{b}^3$$

Dette fenomenet tar vi imidlertid for oss i en egen artikkel om binomialformelen.