Vetores

Um vetor representa uma grandeza que, além do módulo, tem também direção e sentido. É isso que o diferencia de um número comum, o chamado escalar, que tem apenas módulo.

Segmento orientado

Temos no plano dois pontos distintos A, B. Entre esses pontos podemos traçar um segmento. Esse segmento costuma ser escrito como AB, mas a ordem dos pontos não importa: o segmento AB é exatamente o mesmo que o segmento BA.

Nem sempre isso é conveniente, e por isso introduzimos o conceito de segmento orientado, no qual distinguimos a origem e a extremidade. O segmento orientado AB tem origem em A e extremidade em B. Na figura, representamos o segmento orientado por uma seta; no texto, escrevemos o segmento orientado com uma seta sobre os pontos: $\overrightarrow{AB}$. Exemplo:

Em azul está o segmento AB; em vermelho, o segmento orientado $\overrightarrow{CD}$. Se temos um segmento orientado $\overrightarrow{AB}$ para o qual vale A = B, chamamos esse segmento de segmento orientado nulo. Ele tem a mesma origem e a mesma extremidade, e nem parece um segmento, já que na verdade é apenas um ponto.

O módulo de um segmento orientado é igual ao comprimento do segmento comum. Vale $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Direção e sentido de um segmento orientado

Observe os dois segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ a seguir:

À primeira vista, já se percebe que os segmentos orientados têm a mesma direção e o mesmo sentido. Embora fosse possível definir com rigor o conceito de “direção”, vamos ficar com a noção intuitiva. Em resumo, dois segmentos orientados têm a mesma direção e o mesmo sentido se são paralelos e se um não aponta para o lado oposto ao do outro. Estes são todos pares de segmentos orientados com mesma direção e mesmo sentido:

Os últimos segmentos, em verde, são os segmentos orientados $\overrightarrow{IJ}$ e $\overrightarrow{IK}$. A seguir, um exemplo de pares de segmentos que não têm a mesma direção e o mesmo sentido:

O que é um vetor

Voltemos à figura dos dois segmentos orientados com mesma direção e mesmo sentido:

Vemos que esses segmentos orientados têm não só a mesma direção e o mesmo sentido, mas também o mesmo módulo. A única diferença entre eles é que estão posicionados em lugares diferentes. Segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo representam um único e mesmo vetor.

Assim, podemos desenhar um vetor no plano (no espaço…) de infinitas maneiras: basta tomar qualquer segmento orientado que tenha a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo do vetor dado. Os segmentos orientados a seguir representam, todos, um único vetor:

O vetor é determinado apenas pelo seu módulo, sua direção e seu sentido. O módulo, a direção e o sentido do vetor são os mesmos do segmento orientado que representa esse vetor. Em geral, escrevemos os vetores em negrito e com uma seta, como fazemos com o segmento orientado. Podemos ter, assim, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{AB}}$ ou, de forma abreviada, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$.

Cada segmento orientado concreto é um representante do vetor. Na figura anterior temos ao todo 7 segmentos orientados, e cada um deles determina um representante diferente do vetor. Os segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{MN}$ representam o mesmo vetor, digamos $\overrightarrow{\mathbf{v}}$, mas são dois representantes diferentes do vetor $\overrightarrow{\mathbf{v}}$.

Vetores colineares

Temos dois vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$. Dizemos que esses vetores são colineares se são paralelos. Os vetores $\overrightarrow{\mathbf{u}},\overrightarrow{\mathbf{v}}$ não precisam ter o mesmo módulo. A direção precisa ser a mesma, e o sentido pode ser igual ou oposto. Exemplos de vetores colineares:

Todos os vetores vermelhos são colineares, pois são paralelos. O sentido não importa mais: tanto faz se apontam para o canto superior direito ou para o inferior esquerdo. O vetor azul $\overrightarrow{GH}$ não é colinear.

Porém, se os vetores colineares apontam para o mesmo lado, dizemos que têm o mesmo sentido; se apontam para lados opostos, dizemos que têm sentidos opostos. Voltando à figura anterior: os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{EF}$ têm o mesmo sentido, e os vetores $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{KL}$ têm sentidos opostos.

Coordenadas de vetores

Já sabemos que um vetor pode ser representado por infinitos segmentos orientados. Um desses segmentos tem sua origem na origem do sistema de coordenadas, no ponto (0, 0) se estamos falando do plano e no ponto (0, 0, 0) se estamos falando do espaço. Observe a figura a seguir:

Os segmentos orientados $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{CD}$ têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo, e portanto são um único vetor. O segmento $\overrightarrow{CD}$ parte da origem do sistema de coordenadas, e as coordenadas do ponto C são (0, 0). O mesmo vale para o par de segmentos $\overrightarrow{EF}$ e $\overrightarrow{KL}$.

Se sabemos que os segmentos $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ partem da origem, podemos adotar a convenção de identificar esses vetores apenas pela extremidade. A origem é a mesma (é a origem do sistema de coordenadas), e por isso, para distinguir os segmentos $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$, basta anotar suas extremidades.

Dizemos que o vetor $\overrightarrow{AB}$, e portanto também o vetor $\overrightarrow{CD}$, tem coordenadas (3, 1), que são as coordenadas do ponto D, a extremidade do segmento $\overrightarrow{CD}$. Já o vetor $\overrightarrow{KL}$ tem coordenadas (−1, 4), as coordenadas do ponto F.

Como calcular as coordenadas de um vetor

Vamos ao modo matemático de determinar as coordenadas de um vetor. Partimos do princípio de que conhecemos as coordenadas dos pontos A, B que determinam o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$. Considere, então, o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ determinado pelos pontos A(2, 3) e B(5, 4). É o vetor vermelho mais acima na figura anterior. Como encontramos as coordenadas do ponto D, isto é, a extremidade do segmento orientado que representa o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e começa na origem?

Simplesmente deslocamos todo o segmento $\overrightarrow{AB}$ para a origem do sistema de coordenadas. Para levar o ponto A até a origem, precisamos deslocá-lo 2 quadradinhos para a esquerda e 3 quadradinhos para baixo. O mesmo vale para o ponto B. Em outras palavras: subtraímos de ambos os pontos A e B as coordenadas do ponto A. Assim, levamos o segmento $\overrightarrow{AB}$ para o lugar onde está desenhado o segmento $\overrightarrow{CD}$. Podemos escrever:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

As coordenadas do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ são, então, as coordenadas (3, 1), a extremidade do segmento orientado que tem origem na origem do sistema de coordenadas.

Podemos escrever que, se temos um vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ determinado pelos pontos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), as coordenadas do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ são:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

As coordenadas do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ são escritas entre parênteses, de modo que as coordenadas do vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ anterior seriam escritas assim: $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(3,1)$.

Podemos voltar à figura e calcular as coordenadas do vetor $\overrightarrow{KL}$. As coordenadas dos pontos K e L são K(−2, 1), L(−3, 5). As coordenadas do vetor serão, então,

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Vemos que obtivemos corretamente as coordenadas do ponto F.

Como calcular o módulo de um vetor

Agora que sabemos as coordenadas dos vetores, podemos calcular facilmente o módulo deles. Pelo teorema de Pitágoras deduzimos sem dificuldade que o módulo de um vetor de coordenadas $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)$ no plano é

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

Na figura a seguir vemos que as coordenadas do vetor coincidem com os comprimentos dos lados do triângulo que construímos e que, aplicando o teorema de Pitágoras, calculamos facilmente o módulo do vetor.

Se temos o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,4)$, seu módulo será

$$|\overrightarrow{\mathbf{u}}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

E agora vêm dois exercícios para praticar a matéria estudada.

1. Determine as coordenadas do vetor u dado pelos pontos A(3, 7), B(−1, 0). Aqui o procedimento é totalmente simples e direto. $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Portanto, o vetor tem coordenadas $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(-4,-7)$

2. Sabemos que o vetor $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ tem coordenadas $\overrightarrow{\mathbf{u}}=(2,3)$ e é formado pelos pontos A(6, 6) e B(x₁, y₁), isto é, $\overrightarrow{\mathbf{u}}=\overrightarrow{AB}$. Determine as coordenadas do ponto B.

   Montamos de novo a nossa velha conhecida equação e, a partir dela, isolamos a incógnita:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   A segunda coordenada é encontrada pelo mesmo procedimento:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   O ponto B tem coordenadas (8, 9).