Exemplos introdutórios de derivadas

Neste artigo mostramos primeiro algumas fórmulas úteis para o trabalho com derivadas e, em seguida, tentamos resolver as derivadas de algumas funções — simples e complicadas. Se você não procura exemplos resolvidos, mas precisa de uma explicação da definição de derivada, vá ao artigo sobre a derivada de uma função.

Derivada de polinômios

Primeiro mencionamos algumas fórmulas de que vamos precisar para resolver as derivadas de funções na forma de polinômio. Na parte esquerda está a função elementar que queremos derivar e, do lado direito, a função resultante depois da derivação. Para constar: c é uma constante (já na primeira linha temos, portanto, a função constante) e derivamos em relação a x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Alguns exemplos concretos:

$$f(x)=5$$

Essa é uma função constante; aplicamos, assim, a primeira fórmula e obtemos:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

A função linear f(x) = x tem, pela segunda fórmula, a derivada

$$f^{\prime }(x)=1,$$

e não há mais o que investigar. Por isso vamos tentar derivar a função

$$f(x)=x^5.$$

Aplicamos a última fórmula, em que, no lugar de c, substituímos o expoente, isto é, c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

A fórmula funcionaria também para expoente negativo, de modo que, se queremos derivar a função

$$f(x)=x^{-7},$$

obtemos:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Para as brincadeiras seguintes vamos precisar das fórmulas para a soma e a multiplicação de funções. E, se quiséssemos obter de volta a função original a partir da função derivada, usaríamos as integrais.

Derivada da soma

Se queremos calcular a derivada de uma função que contém algumas expressões em soma, simplesmente calculamos as derivadas dos termos internos e somamos os resultados intermediários. Escrevemos isso assim:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Um exemplo simples: tomemos a função f(x) = x + 5. A derivada dessa função será:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Decompusemos a função em duas funções, assim:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

e apenas substituímos na fórmula. Isto é, calculamos as derivadas das funções f₁ e f₂ e somamos os resultados. De modo idêntico funciona para a subtração. Um exemplo mais complicado:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Novamente derivamos apenas os três termos individuais e os deixamos na soma:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Derivada do produto

O produto, infelizmente, já não se resolve tão simplesmente quanto a soma comum; para o produto de duas funções já precisamos usar uma fórmula um pouco complicada:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

Uma função trivial que contém multiplicação é, por exemplo, a função

$$s(x)=5\cdot x^2$$

Na fórmula da multiplicação temos duas funções; obtemos essas funções a partir da função única s(x) assim: f(x) = 5 e g(x) = x². Agora basta substituir facilmente:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Vemos que, se temos uma função da forma

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

então obtemos, após a derivação,

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Podemos ainda generalizar essa regra e, no lugar do polinômio, colocar uma função qualquer. Assim, para qualquer função f(x) vale

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Então, como exemplo, vamos tentar derivar esta função:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

No início da derivação aplicamos primeiro a regra da soma:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Desenvolvemos as expressões em produto segundo a última fórmula mencionada:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Derivamos as expressões entre parênteses segundo a regra para as derivadas de x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

E por fim basta multiplicar os coeficientes:

$$=15x^2-14x.$$

Derivada do quociente

A derivada do quociente é, por sua vez, um pouco mais complicada que a derivada do produto. A fórmula:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Mas, no mais, o procedimento é análogo ao do produto. Então vamos direto ao exemplo:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

O numerador da fração representa a função f(x), e o denominador, a função g(x). E agora basta substituir na fórmula:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

No denominador temos o denominador elevado ao quadrado e, no numerador, a fração desenvolvida segundo a fórmula. Agora derivamos a primeira e a última expressão entre parênteses. Novamente há ali a regra da soma, que vou pular e escrever direto o resultado:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Ainda poderíamos simplificar essa expressão de algum modo, mas isso já não é importante neste capítulo.

Derivadas de funções elementares

Agora apresentamos, sem mais deduções, algumas fórmulas para o cálculo da derivada de funções comuns.

Exponenciais e logaritmos:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Observe que a derivada da função e^x é novamente e^x; isso não é erro de digitação, mas uma propriedade agradável, que se tornou a base de muitas e muitas piadas.

Funções trigonométricas:

$$\begin{array}{rcl}(\mathrm{sen}x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\mathrm{sen}x\\ (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\mathrm{cotg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\mathrm{sen}}^{2}x}\end{array}$$

Um exemplo simples:

$$(3\mathrm{sen}x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

As duas expressões estão em soma, então basta somar as derivadas das duas expressões dadas. Cada expressão contém no início uma constante que multiplica a função depois dela — sabemos que, neste momento, basta derivar a função e não alterar a constante. Fazemos isso:

$$=3(\mathrm{sen}x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Essas já são derivadas de tabela:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Derivada de uma função composta

Pelas propriedades da derivada e pela sua aplicação no estudo do gráfico de uma função, sabemos que, sob certas condições, podemos ter duas funções que são deriváveis e cuja composição novamente nos dá uma função derivável. Vamos mostrar como calcular a derivada de uma função composta assim.

A derivada de uma função composta é provavelmente o conceito mais difícil entre essas derivadas básicas. As funções, como tais, podem ser compostas. Você pode ler com mais detalhes o que é uma função composta nos artigos O que é uma função ou Domínio de uma função. Grosso modo, isso significa que passamos como argumento de uma função outra função. A notação simbólica seria assim: h(g(x)). Uma função concreta pode ser, por exemplo,

$$f(x)=\mathrm{sen}(2x).$$

Quais são as duas funções que há ali? O seno e, depois, a função interna 2x. Nessa função f não podemos simplesmente aplicar a fórmula geral de sen(x), porque ela pressupõe que o argumento seja x, e não 2x. O cálculo da derivada de uma função composta ocorre, então, assim:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Isto é, derivamos a função externa, mantendo o mesmo argumento, e multiplicamos isso pela função interna derivada. No caso desse exemplo com o seno, valeria:

$$(\mathrm{sen}(2x){)}^{\prime }={\mathrm{sen}}^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

A linha apenas sobre o seno significa que derivamos somente o próprio seno, e não derivamos a expressão inteira como na expressão do lado esquerdo da equação. Assim, a derivada do seno é o cosseno, então, no lugar do seno, simplesmente escrevemos o cosseno. E a derivada de 2x é 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Outro exemplo, um pouco mais complicado.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Aqui temos uma função aninhada a mais. A função externa é o cosseno, a do meio é o logaritmo e a mais interna é a potência x². Mas procedemos novamente segundo a fórmula. Vamos desenvolver:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Derivamos apenas o cosseno e deixamos o argumento do cosseno como está, isto é, deixamos ali o logaritmo inteiro. Ainda multiplicamos essa expressão inteira pela derivada do argumento, isto é, pela derivada do logaritmo. Derivamos o cosseno e temos:

$$=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

A expressão à direita não mudou, apenas derivamos o cosseno. Agora passamos à derivada do logaritmo. Novamente é uma função composta, então aplicamos recursivamente a fórmula da função composta. Apenas copiamos a expressão da esquerda:

$$=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Derivamos o logaritmo e mantemos o mesmo argumento, isto é, x². Mas ainda multiplicamos a expressão inteira pela derivada do argumento, isto é, justamente pela derivada de x². A derivada do logaritmo é a fração 1/x, em que, no lugar de x, substituímos o nosso argumento x², e a derivada de x² é 2x.

$$=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\mathrm{sen}(\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\mathrm{sen}(\ln x^2)}{x}.$$