Sequências

Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais sem o zero, ℕ^*. Ela pode ser infinita, quando seu domínio é o conjunto ℕ^* inteiro, ou finita, quando seu domínio é apenas um subconjunto finito dos números naturais. Se não se diz expressamente que a sequência é finita, supõe-se que ela seja infinita.

Definição de sequência

Este capítulo descreve, ao menos um pouco, o significado da definição de sequência. Não é indispensável conhecê-lo, e você pode pular o capítulo inteiro, se quiser.

A introdução já revelou que se trata de uma função que tem como domínio os números naturais. O conjunto imagem pode ser qualquer conjunto, mas aqui vamos supor o conjunto dos números reais. O que isso significa? A mudança mais visível acontece no gráfico da função, pois ele não será uma linha contínua, como costuma ser nas funções comuns, e terá apenas pontos isolados da sequência, espalhados pelo plano.

Uma sequência pode ser, por exemplo, a lista de números 1, 3, 5, 7, 9, 11, … Essa é uma sequência bem clara, e qualquer pessoa deve perceber como ela continua. Como se trata de uma função, a tabela de correspondência dessa sequência ficaria assim:

$$\begin{array}{rcl}1& \to & 1\\ 2& \to & 3\\ 3& \to & 5\\ 4& \to & 7\\ & \dots & \end{array}$$

Os números da primeira coluna (valores do domínio) indicam, assim, a posição do número na sequência. Por exemplo, em nossa sequência simples o número cinco está na terceira posição, o que a tabela também mostra com exatidão. Na quarta posição da sequência está o número sete, na primeira está o um, e assim por diante. Disso resulta também que o domínio de uma sequência finita p deve ser um conjunto da forma

$$D(p)=\{1,2,3,\dots ,n\},$$

para que se trate realmente de posições e nenhuma delas seja pulada. Por exemplo, este conjunto

$$D(p)=\{1,2,3,5,7\}$$

não serve como domínio de uma sequência, porque faltam o quarto e o sexto elementos.

O que caracteriza uma sequência é, então, o fato de seus elementos poderem ser ordenados de modo que todo elemento da sequência, exceto o primeiro e o último, tem um antecessor e um sucessor. Isso é uma enorme diferença em relação às funções reais, em que nada disso vale. Se tomarmos a função f(x) = 2x, qual valor vem depois de f(5/2)? Não sabemos: o resultado é um número real, e os números reais não têm sucessor.

Notação de uma sequência

Já sabemos que, em termos simples, uma sequência é uma lista numerada de números. Vejamos agora como podemos escrever uma sequência. A sequência em si costuma receber o nome de uma letra minúscula com um índice inferior, por exemplo a_i.

A primeira maneira é listar todos os valores da sequência. Já nos deparamos com isso no capítulo anterior. A lista pode ser finita ou infinita:

$$\begin{array}{rcl}{a}_k& =& (1,2,3,4,5)\\ a_n& =& (2,4,6,8,10,\dots )\end{array}$$

Observação: não tenho certeza de quais parênteses costumam ser usados para sequências, e não encontrei uma convenção única. Eu provavelmente não usaria chaves, porque elas indicam conjuntos, nos quais a ordem não importa, enquanto nas sequências a ordem dos termos importa.

A segunda possibilidade é uma fórmula para o n-ésimo termo da sequência. Por exemplo, a sequência a_n continha todos os números pares. Poderíamos expressar isso pela fórmula

$$a_n=2n.$$

O índice inferior n nos diz qual elemento da sequência estamos calculando. Assim, se queremos conhecer o primeiro elemento, queremos conhecer o elemento a₁; se queremos o sétimo, a₇. O sétimo elemento seria então calculado substituindo-se na fórmula.

$$a_7=2\cdot 7=14$$

Essa notação é vantajosa porque permite calcular imediatamente qualquer elemento da sequência. Outra possibilidade é a notação por meio de uma definição recursiva. A definição recursiva nos permite calcular o termo seguinte, se conhecemos o atual. Ou seja, se conhecemos o elemento a_n, ela nos permite calcular o elemento a_{n + 1}.

Para dar uma sequência de forma recursiva, precisamos fornecer duas informações: qual é o primeiro elemento e a fórmula para calcular o (n + 1)-ésimo elemento. Se quiséssemos dar a sequência dos números naturais pares de forma recursiva, poderíamos fazê-lo assim:

$$a_1=2;a_{n+1}=a_n+2$$

Como seria o cálculo agora? Sabemos que a₁ é igual a dois. Agora substituímos n por um e, com isso, calculamos a₂ somando dois a a₁. Obtemos quatro, o segundo número par. E assim por diante.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

A notação por definição recursiva é útil quando precisamos gerar uma parte maior da sequência. Em compensação, ela não serve quando queremos calcular um elemento específico, pois, para calcular o centésimo número par, precisaríamos primeiro calcular todos os 99 números pares que o antecedem.

A última possibilidade é dar a sequência por meio de um gráfico.

Mais um esclarecimento: uma sequência não precisa ter necessariamente uma fórmula simples, nem ser uma lista “razoável” de números. Esta lista de números também é uma sequência, embora à primeira vista não tenha nenhum sentido mais profundo:

$$a_i=(-5,\frac{7}{3},\pi ,\pi ,\pi ,13,{10}^6+54,{\log }_{3}54,0)$$

Gráfico de uma sequência

As sequências têm gráficos diferentes dos das funções reais comuns. Como têm os números naturais como domínio, seu gráfico é formado por pontos isolados.

Progressão aritmética

A progressão aritmética é uma sequência simples em que há uma diferença constante entre os termos consecutivos. Cada elemento seguinte é, por exemplo, três unidades maior ou, quem sabe, dezessete unidades menor. A diferença pela qual os elementos da sequência se distinguem se chama razão (indicada por r). No primeiro caso a razão seria três, no segundo menos dezessete, e no caso da sequência dos números pares seria dois. Por meio de uma fórmula, a progressão aritmética poderia ser escrita assim:

$$a_{n+1}=a_n+r$$

A fórmula geral para calcular o n-ésimo termo de uma progressão aritmética é, então,

$$a_n=a_1+(n-1)r.$$

Como exemplo, tomemos novamente os números pares, em que a razão é dois e o primeiro número par também é dois. Então vale: obtemos o segundo número par somando dois ao primeiro. Se somarmos mais uma vez dois, obtemos o terceiro número par.

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 2\\ a_2& =& a_1+2(=4)\\ a_3& =& a_2+2(=6)\\ a_4& =& a_3+2(=8)\\ & \dots & \end{array}$$

Se quiséssemos calcular, por exemplo, o sétimo número par, substituiríamos na fórmula geral assim:

$$a_n=a_1+(n-1)r\to a_7=2+(7-1)\cdot 2=2+12=14$$

Como saber se uma sequência dada é uma progressão aritmética? Subtraímos a fórmula do n-ésimo termo da fórmula do (n + 1)-ésimo termo e, se obtivermos a razão, trata-se de uma progressão aritmética. Por exemplo, considere a sequência

$$a_n=2n+7.$$

Essa sequência é uma progressão aritmética? Começamos expressando o (n + 1)-ésimo termo:

$$a_{n+1}=2(n+1)+7.$$

Agora subtraímos essas duas expressões uma da outra:

$$\begin{array}{rcl}r& =& (2(n+1)+7)-(2n+7)\\ r& =& 2n+2+7-2n-7\\ r& =& 2n-2n+7-7+2\\ r& =& 2\end{array}$$

Vemos que, após a subtração, obtivemos r = 2, de modo que se trata de uma progressão aritmética de razão dois.

Soma dos termos de uma progressão aritmética

Muitas vezes precisamos saber a soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética. Como faríamos isso? Intuitivamente, talvez mais ou menos assim. Vamos nos ater aos números pares. Qual é a soma dos três primeiros números pares? Ou seja, dos números 2, 4 e 6. Podemos, claro, somá-los um a um, mas não é isso que queremos: queremos uma fórmula.

Modificamos a sequência assim: somamos dois ao primeiro elemento e subtraímos dois do último. Obtemos 4, 4, 4. Vemos que temos três números iguais, então basta multiplicar o quatro pelo número de termos, isto é, por três. Logo, 4 · 3 = 12.

Com cinco elementos seria assim: 2, 4, 6, 8, 10. Aos elementos das pontas somamos e subtraímos quatro, e aos penúltimos, dois.

$$\begin{array}{rcl}{a}_i& =& (2+4),(4+2),6,(8-2),(10-4)\\ a_i& =& 6,6,6,6,6\end{array}$$

Novamente basta multiplicar 6 · 5 = 30. O que vemos? Multiplicamos sempre o número de termos da sequência pelo termo do meio. Na sequência 2, 4, 6 havia o quatro no meio, e na sequência 2, 4, 6, 8, 10 havia o 6 no meio. Como calcular, em geral, o elemento do meio (vamos chamá-lo de p)? Calculamos como a média do primeiro e do último termo da sequência, isto é,

$$p=\frac{a_1+a_n}{2}$$

Por exemplo, na segunda sequência,

$$p=\frac{2+10}{2}=6.$$

A fórmula final para a soma dos n primeiros termos da sequência a_n seria assim:

$$S_n=n\cdot \frac{a_1+a_n}{2}$$

A fórmula vale também para uma quantidade par de elementos, embora na dedução tenhamos usado apenas uma quantidade ímpar.

Como calcular a razão

Como calcular a razão, se você conhece dois termos da sequência? Continuemos com os números pares. Suponha que conheçamos estes dois termos da sequência

$$a_3=6,a_7=14.$$

Como calculamos a razão? Primeiro, calculamos a diferença entre esses dois elementos:

$$a_7-a_3=14-6=8$$

Agora basta dividir esse resultado pelo número de passos entre os dois elementos que conhecemos, isto é, pela diferença de seus índices:

$$\frac{a_7-a_3}{7-3}=\frac{8}{4}=2.$$

A razão é dois. A fórmula final para calcular a razão r, se conhecemos os elementos a_k e a_l da sequência:

$$r=\frac{a_l-a_k}{l-k}$$

O gráfico de uma progressão aritmética apresenta crescimento constante ou decrescimento constante — os pontos isolados do gráfico ficam sobre uma mesma reta.

Progressão geométrica

A progressão geométrica se distingue da anterior, a aritmética, porque dois termos vizinhos não têm a mesma diferença, e sim o mesmo quociente. Esse quociente também se chama razão, mas, diferentemente da razão r da progressão aritmética, é indicado por q. Por exemplo, poderíamos ter uma sequência em que q = 10 e o primeiro elemento fosse 5:

$$\begin{array}{rcl}{a}_1& =& 5\\ a_2& =& a_1\cdot 10(=50)\\ a_3& =& a_2\cdot 10(=500)\\ a_4& =& a_3\cdot 10(=5000)\end{array}$$

Em geral, vale, então, a fórmula:

$$a_{n+1}=a_n\cdot q$$

A fórmula do termo geral de uma progressão geométrica seria assim:

$$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$$

Por exemplo, o terceiro elemento da sequência anterior seria calculado assim:

$$\begin{array}{rcl}{a}_3& =& a_1\cdot q^{3-1}\\ a_3& =& 5\cdot q^2\\ a_3& =& 5\cdot {10}^2\\ a_3& =& 500\end{array}$$

As progressões geométricas ainda podem ser divididas em dois outros grupos, conforme a razão que têm. Se o valor absoluto da razão for menor que um, a sequência inteira se aproximará de zero. Uma sequência assim se chama convergente. Já se o valor absoluto da razão for pelo menos um, a sequência não se aproxima de zero e é chamada de sequência divergente. Para uma sequência convergente vale, então, uma fórmula simples para a soma da série inteira (vale apenas para a convergente, porque a divergente não tem soma finita):

$$S_a=\frac{a_1}{1-q}.$$

Fórmula para calcular a soma dos primeiros i elementos da progressão geométrica a_n:

$$S_i=a_1\cdot \frac{q^i-1}{q-1}$$

Você pode ler a dedução da fórmula na Wikipédia.

O gráfico de uma progressão geométrica, exceto no caso em que a razão é igual a um ou a zero, é um conjunto de pontos isolados que não ficam sobre uma mesma reta. O gráfico típico de uma progressão geométrica tem este aspecto:

Se a razão for negativa, o gráfico terá dois ramos: