Limite de uma função

O limite de uma função é um dos conceitos mais importantes da análise matemática. Ele descreve o comportamento de uma função na vizinhança de um determinado ponto, e graças a isso podemos definir, por exemplo, a continuidade de uma função. O limite de uma função nos ajuda a entender o comportamento da função até mesmo em lugares nos quais ela nem sequer está definida.

Vizinhança de um ponto

Começamos com a definição de vizinhança de raio épsilon de um ponto no conjunto dos números reais. Seja r ∈ ℝ. Dizemos, então, que a vizinhança de raio épsilon desse ponto, para ϵ > 0, é o intervalo aberto ]r − ϵ, r + ϵ[. A vizinhança perfurada de raio épsilon é igual, só que não contém o ponto r. A vizinhança perfurada é ]r − ϵ, r[ ∪ ]r, r + ϵ[. Indicamos a vizinhança de raio épsilon do ponto a por U(a, ϵ) e a vizinhança perfurada por R(a, ϵ).

Como exemplo, tomemos o número cinco e sua vizinhança de raio 2. Calculamos, então, U(5, 2), que é o intervalo ]5 − 2, 5 + 2[ = ]3, 7[. A vizinhança perfurada seria R(5, 2) = ]3, 5[ ∪ ]5, 7[. A mesma vizinhança, apenas sem o ponto cinco. A vizinhança de raio 2 do ponto 5 representada graficamente:

A vizinhança perfurada de raio 2 teria o mesmo aspecto, só que sem incluir o ponto azul 5.

Ponto de acumulação

Em seguida, precisamos conhecer a definição de ponto de acumulação de um conjunto. Um elemento a ∈ ℝ é ponto de acumulação do conjunto M ⊆ ℝ se, em toda vizinhança perfurada dele, por menor que seja, há algum ponto do conjunto M. Mais precisamente:

$$\mathrm{\forall }ϵ>0:R(a,ϵ)\cap M\ne \mathrm{\varnothing }$$

Exemplos: todo número real é ponto de acumulação do conjunto dos números reais. Se escolhermos o número 10, em qualquer vizinhança perfurada desse ponto sempre encontraremos um número real. Para $ϵ=\frac{1}{100}$ obtemos a vizinhança perfurada ]9,99; 10[ ∪ ]10; 10,01[. Nos dois intervalos há algum número real — mais precisamente, há ali infinitos números reais. Assim, por menor que seja o ϵ que tomarmos, sempre obtemos intervalos que contêm infinitos números reais.

Se escolhêssemos para M o conjunto dos números naturais, não encontraríamos nenhum ponto de acumulação. Por exemplo, o número $\frac{1}{2}$ não é ponto de acumulação, porque, para $ϵ=\frac{1}{10}$, obtemos os intervalos ]0,4; 0,5[ ∪ ]0,5; 0,6[, e nenhum dos intervalos contém algum número natural.

Motivação para os limites

Começamos pela definição mais fácil — limite finito em um ponto finito. Primeiro mostramos o que, afinal, queremos calcular. Observe o gráfico da função sinal:

Se tomarmos o ponto x₁ = 3, vale que o valor da função nesse ponto é 1. Vale sgn(3) = 1. E vale também que, para todos os pontos “próximos” ao redor, a função tem valor 1, por exemplo sgn(2,5) = 1 ou sgn(3,5) = 1. Se nos aproximamos do ponto x₁ = 3 pela esquerda ou pela direita, os valores da função são sempre iguais a um.

Mas, se tomarmos o ponto x₂ = 0, vale sgn(0) = 0, embora todos os pontos ao redor tenham outro valor da função! Por exemplo, $\text{sgn}(-\frac{1}{2})=-1$ ou $\text{sgn}(\frac{1}{2})=1$. Os valores da função pela direita se aproximam do valor 1, enquanto os valores da função pela esquerda se aproximam do valor −1. E, por fim, obtemos no ponto x₂ = 0 o valor da função 0. Pegadinha. Esses valores dos quais a função se aproxima em determinado ponto se chamam, então, limites da função no ponto.

Definição de limite finito em um ponto finito

Seja f uma função e x₀ ∈ ℝ um ponto de acumulação do domínio da função f. Dizemos, então, que L ∈ ℝ é o limite da função f no ponto x₀ se

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ).$$

E agora, o que essa definição significa. Ponto finito, neste caso, significa que o ponto dado é um número real. Mais adiante falaremos de limites em pontos infinitos, o que significará o infinito. Vamos tentar calcular este limite:

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=?.$$

Para funções simples assim, vale que o limite da função no ponto x₀ é igual ao valor da função nesse ponto: f(x₀). Mais adiante definiremos exatamente o que significa “função simples”. Agora vamos representar tudo em uma figura:

A reta preta representa o gráfico da função $f(x)=\frac{x}{3}$, o ponto vermelho x₀ representa o ponto em que procuramos o limite e o ponto verde L representa o limite resultante. Observe que representamos o limite no eixo y.

Vamos seguir adiante de acordo com a definição. Em primeiro lugar na definição está (∀ϵ > 0) e, depois, ϵ é usado em |f(x) − L|<ϵ — essa é a notação matemática de que queremos que todos os f(x) estejam a uma distância de L menor que ϵ. Procuramos, assim, a vizinhança de raio ϵ do ponto L no eixo y. Pela definição, podemos escolher qualquer ϵ > 0; escolhemos, por exemplo, $ϵ=\frac{3}{10}$. Encontramos no eixo y os pontos que estão exatamente à distância ϵ do ponto L:

Todos os pontos do eixo y que estão entre essas linhas verdes se encontram na vizinhança de raio ϵ do ponto L. São esses os pontos de que fala a definição.

A definição continua com a expressão (∃δ>0), que é usada adiante na expressão 0<|x − x₀|<δ. Nós dizemos que uma diferença x − x₀ deve ser menor que δ. Como x, x₀ se encontram no eixo x, também representaremos o valor de δ no eixo x. Além disso, a expressão 0<|x − x₀|<δ nos diz novamente que devemos tomar todos os x que estão a uma distância de x₀ menor que δ, mas ao mesmo tempo maior que zero, ou seja, x ≠ x₀. Isso significa que essa notação indica a vizinhança perfurada de raio δ do ponto x₀. Podemos, assim, reescrever a definição de limite de forma equivalente usando vizinhanças de pontos:

$$(\mathrm{\forall }ϵ>0)(\mathrm{\exists }\delta >0)(\mathrm{\forall }x\in D(f))(x\in R(x_0,\delta )\Rightarrow f(x)\in U(L,ϵ))$$

Voltamos à definição anterior e continuamos a desenhar a figura: para representá-la, precisamos da outra parte da definição:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Ou seja, para todos os x da vizinhança perfurada de raio δ do ponto x₀ deve valer… alguma condição. Acrescentamos à figura a vizinhança perfurada de raio δ do ponto x₀, por exemplo para $\delta =\frac{3}{2}$:

Todos os x que se encontram entre as linhas vermelhas tracejadas pertencem à vizinhança de raio δ de x₀, exceto o próprio ponto x₀. Olhamos de novo para a condição anterior:

$$0<|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<ϵ$$

Para todos os x da vizinhança perfurada de raio δ do ponto x₀ deve valer que todos os valores da função f(x) se encontram na vizinhança de raio ϵ do ponto L. Tomamos, então, todos os x da vizinhança perfurada de raio δ do ponto x₀ e calculamos os valores da função. Esses valores da função são representados na figura seguinte pelo segmento azul:

O ponto x₀ não está na vizinhança perfurada, por isso há ali aquela bolinha vazia. A definição nos diz que, para todos esses pontos azuis, deve valer que estão na vizinhança de raio ϵ do ponto L. Dito com as cores da figura: todos os pontos azuis devem estar situados entre as linhas verdes, que representam a vizinhança de raio ϵ. Isso vale?

Claro que não; por exemplo, para $x=\frac{16}{10}$ obtemos evidentemente um ponto azul que não está entre as linhas verdes, isto é, não está na vizinhança de raio ϵ do ponto L.

Mas isso não importa: a definição nos diz que, para cada vizinhança de raio ϵ do ponto L, deve existir alguma vizinhança de raio δ tal que … o resto da condição. Isso significa que nos basta existir uma única vizinhança de raio δ assim. $\delta =\frac{3}{2}$ claramente não foi uma boa escolha, mas podemos tentar outro δ, por exemplo $\delta =\frac{1}{2}$. A figura mudaria assim:

Novamente olhamos se todos os valores da função, para todos os x da vizinhança perfurada de raio δ do ponto x₀, estão na vizinhança de raio ϵ do ponto L. Em suma, se todos os pontos azuis estão entre as linhas verdes. Sim, agora já estão, eba.

Isso significa que L é o limite da função no ponto x₀? Não necessariamente, pois a definição diz que (∀ϵ > 0) …. Nós verificamos a definição até agora para um ϵ concreto, e ainda restam … infinitos outros.

Em outras palavras: para que realmente valha $\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1$, teríamos de encontrar, para cada vizinhança de raio ϵ, alguma vizinhança de raio δ tal que valesse a condição anterior. Pela figura podemos ver que sempre encontraremos tal vizinhança de raio δ; por exemplo, se diminuirmos ϵ para $ϵ=\frac{1}{10}$, podemos diminuir δ para $\delta =\frac{2}{10}$ e vai funcionar:

Por menor que tomemos ϵ, sempre devemos encontrar um δ tal que consigamos colocar os valores da função na vizinhança de raio ϵ do limite L da função.

Demonstração do limite finito em um ponto finito

Vamos tentar demonstrar de verdade o limite anterior. Pela figura já sabemos que, provavelmente,

$$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x}{3}=1,$$

e agora vamos tentar demonstrar isso matematicamente. Pela figura poderíamos deduzir que, se tomarmos sempre para δ o mesmo valor que ϵ, pode dar certo. Então façamos δ = ϵ. Agora, portanto, precisamos demonstrar

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{para todo}x\in ]x_0-\delta ,x_0[\cup ]x_0,x_0+\delta [$$

Como fizemos δ = ϵ, trocamos todos os δ por ϵ:

$$L-ϵ<f(x)<L+ϵ,\text{para todo}x\in ]x_0-ϵ,x_0[\cup ]x_0,x_0+ϵ[$$

Substituímos L por 1 e x₀ por 3:

$$1-ϵ<f(x)<1+ϵ,\text{para todo}x\in ]3-ϵ,3[\cup ]3,3+ϵ[$$

Agora deveríamos demonstrar todas as desigualdades. Como a função $\frac{x}{3}$ é estritamente crescente, basta verificarmos os pontos extremos 3 − ϵ e 3 + ϵ. Começamos com 3 − ϵ — substituímos na função $\frac{x}{3}$ o valor 3 − ϵ e mostramos que esse valor sempre satisfará as desigualdades 1 − ϵ < f(x) < 1 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3-ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1-\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& -\frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

O mesmo com 3 + ϵ:

$$\begin{array}{rcl}1-ϵ<& f(x)& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{x}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3+ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& \frac{3}{3}+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ 1-ϵ<& 1+\frac{ϵ}{3}& <1+ϵ\\ -ϵ<& \frac{ϵ}{3}& <ϵ\end{array}$$

Limite mal determinado

Agora vamos esboçar o que aconteceria se achássemos que o limite da função, quando x tende a três, tem valor um meio. Escolheríamos alguma vizinhança pequena de raio épsilon:

E neste momento já não conseguimos encontrar uma vizinhança de raio delta do ponto x₀ cujos valores da função coubessem todos entre essas linhas verdes. Vemos que, para a vizinhança de raio δ escolhida, todos os pontos azuis estão fora das linhas verdes. Se aumentássemos a vizinhança de raio δ, apenas aumentaríamos o número de pontos azuis que não conseguimos colocar entre as linhas verdes.

Limite da função sinal

A função sinal é uma função linda, que provavelmente vai deixar você de cabeça girando. O gráfico vem a seguir:

O gráfico não é totalmente claro, então uma descrição em palavras: se x é negativo, o sinal é menos um; se é positivo, o sinal é mais um; e se x é nulo, o sinal também é zero. Modificamos o gráfico com o valor absoluto, f(x) = |sgn(x)|, e obtemos assim |sgn(0)| = 0 e, nos demais casos, |sgn(x)| = 1. Gráfico:

A pergunta é: a que é igual este limite?

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=?$$

A função está definida no ponto zero, e o valor da função também é igual a zero. No entanto, isso não nos diz que o limite também será igual a zero. O limite pode ser diferente do valor da função no ponto dado.

A única possibilidade de escolher o limite de modo que a definição dê certo é escolher o limite igual a um. Podemos nos ajudar também com a intuição: de que valor se aproxima o valor da função quando x se aproxima de zero pela esquerda? Aproxima-se continuamente de um. Que no fim ela salte para zero não nos incomoda. De modo análogo para x se aproximando de zero pela direita.

$$\underset{x\to 0}{lim}|\text{sgn}(x)|=1$$

Se deixássemos a função na forma original, ou seja, f(x) = sgn(x), a função não teria limite no ponto zero, e sim dois limites laterais diferentes. Pela esquerda a função se aproximaria de menos um e, pela direita, de mais um. Você pode tentar demonstrar isso pela definição.

Limites que não existem

Vamos mostrar ainda alguns exemplos em que os limites não existem.

O exemplo mais simples de inexistência de limite é calcular o limite em um ponto que não é ponto de acumulação de D(f). Assim, por exemplo, não existe o limite:

$$\underset{x\to -1}{lim}\ln x$$

Gráfico:

As funções periódicas muitas vezes não têm limite no infinito (isso não vale para todas!). Tipicamente as funções trigonométricas, como o seno. O gráfico vem a seguir:

O limite no infinito simplesmente não existe: o valor do seno oscila continuamente entre um e menos um, e por isso o limite não pode ser calculado.