Derivada de uma função

A derivada é um conceito fundamental do cálculo diferencial, tem papel importante, por exemplo, no estudo do gráfico de uma função e é, de um lado, detestada pelos estudantes e, de outro, calculada até por um macaco devidamente treinado. Neste artigo serão apenas descritos e explicados a definição de derivada e os conceitos relacionados. Os exemplos resolvidos você encontra nos artigos vizinhos: exemplos simples de derivadas e exemplos mais difíceis. O processo inverso da derivação é a integração.

O que é a derivada

Antes mesmo de chegarmos à definição de derivada, vamos dizer o que, afinal, calculamos com a derivada e para que isso pode servir.

Com a derivada de uma função obtemos o coeficiente angular da reta tangente. Provavelmente são muitos palavrões de uma vez só, então vamos do começo. Em termos simples, a reta tangente é uma reta que toca o gráfico dado em exatamente um ponto. Essa não é a definição exata, que você pode ler, por exemplo, na Wikipédia, mas, grosso modo, basta. Agora observe a figura seguinte:

A curva preta é o gráfico da função y = x². A reta azul é a tangente a essa função no ponto D(1, 1), marcado em vermelho. Em verde está assinalado o ângulo α que a tangente forma com o eixo x — mais precisamente, com o semieixo positivo x. Agora vamos definir o conceito de coeficiente angular da reta tangente. O coeficiente angular da reta tangente é, nesta figura, a tangente do ângulo alfa. A tangente é uma função trigonométrica clássica, graças à qual podemos calcular, por exemplo, ângulos e medidas de lados em um triângulo. Assim, o coeficiente angular da reta tangente é a tangente do ângulo que a reta tangente dada forma com o semieixo positivo x. E é justamente com as derivadas que obtemos esse coeficiente angular.

Além disso, distinguimos os conceitos de derivada de uma função em um ponto e derivada de uma função. A derivada de uma função em um ponto representa justamente o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado. A derivada de uma função é, então, outra função, que prescreve os coeficientes angulares para um argumento geral x. Segue um exemplo.

Motivação

Com a derivada, portanto, sabemos calcular os coeficientes angulares das retas tangentes. Para que isso pode servir? Observe a figura seguinte:

Na figura está novamente a função y = x² e quatro retas tangentes assinaladas. Duas verdes e duas azuis. Observe que a função y = x² é decrescente no intervalo ]−∞, 0[, enquanto no intervalo ]0, +∞[ é crescente. Mas o que vale, ao mesmo tempo, para as retas tangentes, ou melhor, para o ângulo que elas formam com o semieixo positivo? As tangentes azuis, que são as que passam por pontos pertencentes ao intervalo em que a função cresce, formam com o eixo um ângulo menor que 90°. Já as tangentes verdes formam com o eixo um ângulo maior que 90°. Como isso se reflete nos coeficientes angulares das retas tangentes?

Para isso precisamos conhecer o comportamento da função tangente. No gráfico seguinte descobrimos que, se o ângulo tem medida menor que 90°, o valor da tangente é positivo (a parte destacada em azul); já se o ângulo é maior que 90°, mas menor que 180° (isto é, menor que π radianos), o valor da tangente é negativo. Que conclusão podemos tirar? Se o coeficiente angular (não se esqueça de que o coeficiente angular é justamente a tangente do ângulo) da reta tangente no ponto dado é positivo, a função é crescente no ponto dado; se é negativo, ela é decrescente.

Definição

Antes de chegarmos à definição propriamente dita de derivada, precisamos percorrer um longo caminho. E para isso vamos precisar do limite de uma função. Se você não domina os limites, volte a eles ou apenas dê um pulo às fórmulas; a conversa a seguir provavelmente não é para você.

Antes de passarmos ao coeficiente angular da própria reta tangente, vamos parar no coeficiente angular da reta secante, que será mais simples. A reta secante é uma reta que corta o gráfico em dois pontos. Agora vamos tentar deduzir como calcularíamos esse coeficiente angular. Veja a figura:

Temos ali o gráfico da função x² + 1 e a reta secante s, que corta o gráfico em dois pontos, (0,5; 1,25) e (2, 5). Esses pontos estão destacados em azul. Como não vamos nos interessar muito pelos valores concretos, no gráfico esses valores estão indicados de forma geral como a e b e f(a) e f(b). Sendo que f(a) é o valor da função f no ponto x = a. E, de fato, o valor da nossa função x² + 1 no ponto x = 2 é 2² + 1 = 5.

Agora o que importa é deduzir como calcular o ângulo indicado como alfa, isto é, o ângulo que a reta secante forma com o eixo x. Primeiro vamos modificar um pouco a figura, para obtermos ali algum triângulo, e será mais fácil trabalhar com ele.

O que fizemos? Ligamos com um segmento os pontos em que a reta secante cortava o gráfico da função y = x² + 1 e os completamos até formar o triângulo retângulo ABC. No que isso nos ajudou? O ângulo indicado como β tem a mesma medida que o ângulo α (são ângulos correspondentes). E, ao mesmo tempo, conhecemos as medidas dos lados AB e BC. Vale que |AB| = b − a (é simplesmente a distância do ponto b ao ponto a). De modo semelhante, o comprimento é |BC| = f(b) − f(a). Como calculamos agora a medida do ângulo β, ou melhor, α?

É preciso saber como se calcula a tangente. A tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente, ou seja, a tangente do ângulo alfa (beta) é igual à razão entre a medida do lado BC e a medida do lado AB. Vamos escrever:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{|BC|}{|AB|}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Como o coeficiente angular é a tangente do ângulo, com essa fórmula calculamos o coeficiente angular da reta secante. Mas como isso nos ajuda quando queremos calcular o coeficiente angular da reta tangente? Imagine que vamos aproximando os pontos A e C um do outro até que se fundam. A aproximação é mostrada na figura:

Quanto mais aproximamos o ponto superior de interseção do ponto inferior, mais perto a reta secante fica de se tornar tangente. A secante/reta CA original estava longe de ser tangente. Quando aproximamos o ponto C do ponto A, obtemos, por exemplo, a secante C₁A, que já se parece mais com uma tangente. A secante C₂A se parece ainda mais, e assim por diante.

Quando a reta secante se torna tangente? No momento em que os dois pontos de interseção se fundem em um só, isto é, quando valesse, para algum ponto C_n, que C_n = A. Nesse momento temos, a partir da secante, uma tangente, que era o que queríamos. A questão é como calcular o coeficiente angular, porque não podemos simplesmente subtrair esses dois pontos, já que são iguais:

$$\mathrm{tg}(\beta )=\frac{f(a)-f(a)}{a-a}=\frac{0}{0}.$$

Isso não dá certo, não podemos calcular assim. Não foi à toa que apenas aproximamos os pontos um do outro. Vamos precisar de um limite. Queremos agora calcular o coeficiente angular da reta tangente no ponto dado (a, f(a)) e temos à disposição os coeficientes angulares de todas as retas secantes possíveis (esses já sabemos calcular). Vamos, então, calcular aos poucos os coeficientes angulares das retas secantes, que aproximaremos de modo que surja a tangente. Vamos, então, aproximar b de a. Não podemos aproximar os pontos de modo que fiquem iguais, mas podemos aproximá-los de modo que a diferença deles tenda a zero no limite. Olha só, o limite. Ou seja, vamos aproximar b de a até que sejam iguais no limite. Então calculamos o limite em que b tende a a. Isso é tudo, a fórmula é esta:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{b\to a}{lim}\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

Chamamos esse limite de derivada da função f(x) no ponto x = a. Lembro que o ângulo α é igual ao ângulo β. Em geral, não usamos as variáveis a e b, mas procuramos a derivada no ponto x₀ e nos aproximamos com o ponto x. Podemos então escrever:

$$\mathrm{tg}(\alpha )=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Até agora, de modo semelhante ao que fizemos na continuidade de uma função, definimos a derivada apenas em um ponto. Se temos uma função f(x) que é derivável em um intervalo aberto I, então os valores dessa derivada definem a função f′(x), que chamamos de derivada da função.

Escrevemos a derivada com uma linha (apóstrofo) no índice superior, mais ou menos assim:

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,f^{\prime }(x)=\dots f^{\prime }(x_0)=\dots$$

Você pode se deparar também com outra forma de notação, com dx:

$$\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$$

Na fórmula que usamos há pouco, podemos, portanto, trocar a tangente pela notação da derivada:

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

Podemos definir também a derivada lateral à direita ou à esquerda por meio dos limites laterais. Disso não vamos tratar agora, não é tão importante assim.

Uma definição um pouco diferente

Outra definição de derivada de uma função em um ponto é esta:

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

Como chegamos a essa definição? Basta modificar um pouco a figura da qual partimos. Podemos expressar a distância do ponto a ao ponto b como h = b − a. Com isso, podemos escrever o ponto b como a + h, porque h é justamente a distância de b a a. A figura ficaria assim:

Embaixo temos os pontos a e a + h e, no eixo y, f(a) e f(a + h). Agora criamos novamente o triângulo e calculamos a tangente do ângulo beta. Apenas com a diferença de que o comprimento do lado AB já está calculado: é justamente h.

Derivada finita e infinita

Também as derivadas podem ser finitas e infinitas, de modo semelhante aos limites de funções. O que isso significa? A derivada é finita se o valor da derivada no ponto é igual a algum número real. A derivada é infinita se é igual a mais ou menos infinito. Como imaginar isso geometricamente? Quando o coeficiente angular é “infinito”? Começamos com uma pergunta mais fácil: como é a reta tangente cujo coeficiente angular é igual a algum número grande? Pelo gráfico da tangente (veja acima) vê-se que, se o valor da tangente é alto, o ângulo se aproxima de 90° (se nos movemos no intervalo ]0, 180[).

Poderíamos deduzir disso que, se a função tem num ponto derivada infinita, a reta tangente formará com o eixo x um ângulo reto, será perpendicular a ele. E é isso mesmo. Como poderia ser o gráfico de uma função assim, e em que ponto a reta tangente seria perpendicular ao eixo x? Por exemplo, a função $y=\sqrt[3]{x}$:

Propriedades básicas

• Para que a função tenha derivada em um ponto, ela deve estar definida em alguma vizinhança de raio épsilon desse ponto. Se essa vizinhança não existisse, não conseguiríamos calcular os limites por meio dos quais a derivada é definida.

• A unicidade da existência (ou inexistência) dos limites nos implica que, se existe derivada em um ponto, ela é única. Nenhuma função tem em um ponto várias derivadas. Ou uma, ou nenhuma.

• De modo semelhante ao que ocorre com os limites laterais, se a função tem derivada em um ponto, então as derivadas à esquerda e à direita devem ser iguais.

• Às vezes precisamos conhecer a chamada segunda derivada. Não se trata de nada complicado: simplesmente derivamos a função uma vez e depois derivamos o resultado mais uma vez. Indicamos isso com duas linhas: f''(x) = (f'(x))'.

• Propriedade importante: se a função tem derivada em um ponto, então a função é contínua nesse ponto. Vem, novamente, das propriedades dos limites. Atenção: isso não vale no sentido contrário. Se a função é contínua no ponto dado, isso não significa que seja derivável ali. Um exemplo típico é a função f(x) = |x|. O gráfico tem uma ponta, e não se pode calcular o coeficiente angular da reta tangente nessa ponta. Você pode tentar calcular a derivada à esquerda e à direita, e elas serão diferentes.

  

• Com as derivadas é possível resolver também o cálculo de alguns limites; para isso serve a regra de L'Hôpital.

Links

No artigo vizinho você encontra uma lista de fórmulas para o trabalho com derivadas. Outras você encontra na Wikipédia.

Você também pode ver os exemplos resolvidos de derivadas e, depois, se quiser, os exemplos mais difíceis de derivadas.

Se precisar verificar rapidamente o cálculo de uma derivada, você pode usar alguma ferramenta matemática, como o Wolfram|Alpha. Basta escrever no campo de entrada deles “derive x^2+6x” (por exemplo), e o Wolfram calcula para você as derivadas da função dada.