Integral

O processo de integrar uma função é o inverso do processo de derivar uma função.

Primitiva

Começamos com uma tarefa fácil. Tomemos a função f(x) = 2x. Procuremos agora uma função F que, depois de derivada, seja igual à função f. Escrito formalmente, procuramos a função F de modo que valha F′ = f.

Pelas fórmulas básicas para o cálculo de derivadas sabemos que é a função F(x) = x². A derivada da função x² é igual justamente a 2x. A questão é se essa função é a única que satisfaz a condição.

A resposta é que não — se somarmos à função x² qualquer constante real, obtemos após a derivação novamente a função 2x, porque a derivada de uma constante é zero. Qualquer função da forma x² + c, em que c é uma constante real, pode ser considerada a função F que procuramos.

Podemos generalizar essa tarefa. Tomemos uma função real f e procuremos uma função F para a qual valha F′(x) = f(x) para todos os x de D(f), ou de algum intervalo do domínio. Essa função pode não ser dada de modo único; por outro lado, tal função também pode simplesmente não existir.

Chamamos essa função F de primitiva da função f. Escrevemos:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

A função f se chama integrando, e o processo de procurar a primitiva se chama integração. A expressão dx indica em relação a qual variável integramos. Se escrevermos um exemplo assim

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

queremos encontrar a primitiva da função 4x³, integrando em relação à variável x. O resultado pode ser, então, a função x⁴, que, depois de derivada, é igual justamente a 4x³. Naturalmente, podemos somar a essa função uma constante real qualquer.

Pode-se demonstrar que a primitiva ou não existe, ou é sempre da forma F(x) + c, em que c é uma constante real — e então há infinitas delas, porque temos infinitas constantes reais. Assim, se encontramos uma função F(x), somos capazes de gerar todas as primitivas. Ao mesmo tempo, vale que nenhuma outra função, que não gerássemos por esse caminho, é primitiva da função que procuramos.

Mais algumas palavras sobre a expressão dx. Parece muito misteriosa, mas realmente apenas indica em relação a qual variável integramos. Se, por exemplo, temos a integral

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

isso significa que integramos em relação à variável b e as outras letras a e c se comportam como constantes. Isto é, eles se comportam como se ali houvesse números.

Integração de funções elementares

Podemos deduzir facilmente as fórmulas para o cálculo das primitivas de algumas funções elementares. Durante o capítulo inteiro suponhamos que c ∈ ℝ.

Começamos com a função f(x) = 0, a função nula. Que função será igual a zero depois de derivada? Qualquer função que contenha apenas uma constante:

$$\int 0\text{ d}x=c$$

Depois, a função f(x) = 1. Vale que x′ = 1, então a integral de um será igual a

$$\int 1\text{ d}x=x+c$$

A próxima na ordem é a função f(x) = x. Que função devemos derivar para obter como resultado x? Se derivarmos x², obtemos 2x. Já estamos quase onde queríamos chegar. Basta dividir por dois. Se derivarmos, então, (x²)/2, obtemos justamente x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+c$$

Se generalizarmos isso para a função xⁿ, em que n ∈ ℝ, obtemos a fórmula:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c$$

Observe que essa fórmula não vale para n = −1, porque dividiríamos por zero, e isso não se faz, não é bonito. Então, se temos n = −1, obtemos a função f(x) = x⁻¹, que é a função 1/x. Que função devemos derivar para obter 1/x? É o logaritmo.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+c$$

O problema é que o logaritmo está definido apenas para os números reais positivos, de modo que essa fórmula não vale para todos os x de D(f). No entanto, vale para o intervalo ]0, +∞[. Para o intervalo ]−∞, 0[ apenas trocamos o sinal do argumento do logaritmo: ln(−x). Juntando tudo, podemos escrever

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+c$$

Essa fórmula vale para todos os x ∈ D(f). Outras integrais, por exemplo, de funções trigonométricas, você encontra na tabela seguinte:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+c\text{para }a>0,a\ne 1\\ \int \mathrm{sen}x\text{ d}x& =& -\cos x+c\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \mathrm{sen}x+c\end{array}$$

Integral de uma soma

Enquanto calcular a derivada de uma função é, na maioria das vezes, relativamente simples e — como se diz — até um macaco treinado consegue, porque em geral se procede diretamente pelas fórmulas, com as integrais a situação é outra. Os procedimentos para calcular integrais são relativamente mais complicados, e por isso a tarefa de encontrar uma integral é muito mais complicada que calcular uma derivada. Isso se deve principalmente ao fato de que temos, sim, uma fórmula à disposição para a integral de uma soma, mas não para a de um produto.

Vamos tentar calcular esta integral:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Como poderíamos calcular isso? Precisamos de uma função que, depois de derivada, dê x e, depois, de outra função que dê 1. Pelas fórmulas já sabemos que se trata das funções (x²)/2 e x. Se somarmos essas funções, obtemos f(x) = (x²)/2 + x. Depois de derivar essa função, obtemos x + 1. Com isso obtivemos o resultado:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+c$$

Durante o cálculo usamos uma propriedade — a integral de uma soma é igual à soma das integrais. Ou seja,

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Isso vale também para a subtração:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

Por isso pudemos desenvolver o exemplo anterior assim:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Colocação de uma constante em evidência

Uma propriedade semelhante vale também para colocar uma constante em evidência, passando-a para fora da integral. Se temos a integral na forma:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

em que a é uma constante real qualquer, podemos colocar em evidência essa constante, passando-a para fora da integral:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Exemplo

Calcule a integral:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

No primeiro passo dividimos isso em três integrais:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Vamos resolver as integrais uma a uma. Podemos resolver a primeira integral diretamente pela fórmula para as potências xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+c$$

Na segunda integral primeiro colocamos o seis em evidência:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

A integral de x já é novamente uma integral imediata, igual a (x²)/2. Assim, obtemos:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+c$$

Na última integral também primeiro colocamos em evidência o 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

E essa já é novamente uma integral imediata:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+c$$

Somamos essas integrais parciais e temos o resultado:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+c$$

Mais uma observação — em cada integral parcial obtivemos a constante c, de modo que, ao somar, deveríamos escrever no resultado +3c em vez de +c. No entanto, c é uma constante real qualquer, então 3c será igual, novamente, a algum número real. Poderíamos trocar c nas integrais parciais por c₁, c₂, c₃ e depois dizer que c = c₁ + c₂ + c₃.