Números primos
Os números primos são os números divisíveis apenas por 1 e por eles mesmos. As propriedades dos números primos são muito usadas, por exemplo, na criptografia.
Definição e exemplos
Um número primo é um número natural que é divisível, sem deixar resto, apenas por 1 e por ele mesmo, e o número 1 não é primo. O menor número primo é o 2, que é divisível sem resto por 1 e por 2. Ele é também o único primo que é par. Todos os outros primos são ímpares, porque qualquer outro número par, além de 1 e dele mesmo, é divisível também por 2.
Sequência dos primeiros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271…
Os números primos estão ligados ao teorema fundamental da aritmética, segundo o qual todo número inteiro maior que 1 pode ser decomposto em um produto de números primos.
Teste se um número é primo
Propriedades dos números primos
- Existem infinitos números primos. A demonstração está no artigo sobre a demonstração por absurdo.
- Para todo número inteiro z>1, existe pelo menos um número primo no intervalo ]z, 2z[. Exemplo: para z = 2, temos o intervalo ]2, 4[. O único número inteiro nesse intervalo é o 3, que é primo. Para z = 5, obtemos o intervalo ]5, 10[, isto é, os números 6, 7, 8, 9. O número 7 é primo. Do mesmo modo para z maiores.
- Um primo de Mersenne é um número primo que é uma unidade menor que alguma potência inteira de 2. Assim, um primo de Mersenne M tem a forma M = 2z − 1, em que z é algum número natural. Um exemplo é o primo 3, pois 22 − 1 = 3. Ou o 7, pois 23 − 1 = 7.
- Os maiores primos conhecidos costumam ser justamente os de Mersenne. Por exemplo, em 23 de agosto de 2008 foi encontrado o primo de Mersenne M43112609, em que o índice inferior indica o expoente z. Trata-se do primo 243112609 − 1, que tem 12.978.189 algarismos e, na época, era o maior primo conhecido.
Sequência sem números primos
É possível encontrar uma sequência finita, tão longa quanto quisermos, de números naturais consecutivos entre os quais não aparece nenhum primo. Uma sequência assim pode ter a forma k!+2, k!+3, …, k!+k e contém k − 1 números compostos consecutivos (o ponto de exclamação indica o fatorial).
Por exemplo, para k = 6 obtemos cinco números compostos consecutivos: 720 + 2, 720 + 3, 720 + 4, 720 + 5, 720 + 6. Esses números são divisíveis, respectivamente, por 2, 3, 4, 5 e 6, porque o número 6! = 720 é com certeza divisível por todos eles, já que é o produto deles: 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2. Se o número 720 é divisível por 3, então o número 720 + 3 também tem de ser divisível por 3. Do mesmo modo para os demais.
Pequeno teorema de Fermat
Para todo número primo p e todo número inteiro z, o número zp − z é divisível pelo primo p.
Exemplo: tomemos o primo p = 3 e o número inteiro z = 4. Calculamos o valor de 43 − 4, que é igual a 60. Ora, 60/3 = 20, de modo que 3 divide 60 sem deixar resto, o que está de acordo com o teorema de Fermat. Outro exemplo: p = 7, z = 10. Calculamos o resultado intermediário 107 − 10 = 9999990 e dividimos esse número por 7: 9999990/7 = 1428570. Novamente obtivemos uma divisão sem resto.
Questões em aberto
Há muitas conjecturas famosas sobre os números primos que ainda (2011) não foi possível demonstrar nem refutar. As duas mais conhecidas são:
- Infinitude dos primos gêmeos: um par de primos gêmeos é um par de números (z, z + 2) em que os dois números são primos. Por exemplo, (3, 5) ou (29, 31). A questão é se existem infinitos pares de primos gêmeos. Acredita-se que sim, mas falta a demonstração.
- Hipótese de Riemann: todos os zeros não triviais da função zeta de Riemann têm parte real igual a
