Números complexos

Os números complexos são uma extensão dos números reais. No conjunto dos números reais podemos fazer a maioria das operações clássicas, como adição, subtração, multiplicação e divisão (exceto a divisão por zero). Nos números reais também podemos extrair raízes, mas apenas de números não negativos. Isso representa uma lacuna, por exemplo quando resolvemos uma equação do 2º grau e o discriminante dá negativo. Os números complexos preenchem essa lacuna.

O que é um número complexo

Os números complexos se diferenciam dos números comuns principalmente por terem duas partes: a real e a imaginária. Um número complexo é um par ordenado de números (x, y), em que o número x é a parte real e o número y é a parte imaginária. Se a parte real é nula, trata-se de um número complexo imaginário puro. Os números x e y em si são reais.

O conjunto dos números complexos é representado pela letra C maiúscula: ℂ.

Igualdade de números complexos: ao contrário dos números comuns, os números complexos têm duas componentes. Assim, para que dois números complexos sejam iguais, eles precisam ser iguais nas duas componentes. Estes números complexos são, portanto, diferentes entre si: (2, 3) ≠ (0, 3) ≠ (2, 0). Os números complexos z₁ = (1, 2) e z₂ = (1, 2) são iguais: z₁ = z₂.

Forma algébrica e unidade imaginária

Os números complexos costumam ser escritos na forma algébrica, que é a seguinte. O número complexo (x, y) tem forma algébrica x + yi, em que i se chama unidade imaginária. Para o quadrado da unidade imaginária vale uma relação muito importante:

$$i^2=-1$$

Essa igualdade será usada muitas vezes daqui para a frente, junto com as outras potências. As potências maiores, de fato, podem ser calculadas do modo habitual. Por exemplo, se quisermos simplificar i³, podemos decompor a expressão, pelas regras de cálculo com potências, em i² · i. Já sabemos que i² é igual a menos um. O segundo i não tem como ser decomposto, então obtemos: i³ = −i.

$$i^3=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{i}{\underbrace{i}}=-i$$

Do mesmo modo para i⁴. Podemos decompô-lo em i² · i², com i² = −1, e obtemos: −1 · − 1 = 1.

$$i^4=\underset{-1}{\underbrace{i^2}}\cdot \underset{-1}{\underbrace{i^2}}=-1\cdot -1=1$$

Então i⁴ = 1. Podemos aproveitar esse fato para calcular potências ainda maiores da unidade imaginária. Por exemplo, ao calcular i⁷, podemos decompô-lo em i⁴ · i³. Sabemos que i⁴ = 1, então obtemos: 1 · i³. E sabemos que i³ = −i. O resultado é: 1 · (−i) = −i.

Adição e multiplicação

Podemos somar e multiplicar números complexos. Na adição de dois números complexos z₁ e z₂, basta somar separadamente as partes reais e as partes imaginárias:

$$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$

Exemplo: z₁ = 3 + 7i e z₂ = 5 + 8i. A soma seria: z₁ + z₂ = (3 + 5) + (7 + 8)i = 8 + 15i.

O produto de dois números complexos é um pouco mais complicado, mas pode ser feito como a multiplicação usual de parênteses. A fórmula básica é esta:

$$z_1\cdot z_2=(x_1+y_{1}i)\cdot (x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

E como chegamos a ela? Vamos multiplicar z₁ · z₂ do mesmo modo que multiplicaríamos parênteses comuns. Obtemos:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i+y_1{y}_2{i}^2$$

Como i² = −1, depois de ajustar o último termo obtemos:

$$z_1\cdot z_2=x_1{x}_2+x_1{y}_{2}i+x_2{y}_{1}i-y_1{y}_2$$

E agora basta juntar os termos sem a unidade imaginária e os termos com ela:

$$z_1\cdot z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$$

Exemplo. Vamos multiplicar os números 5 + 6i e 4 + 7i. Obtemos:

$$(5+6i)\cdot (4+7i)=20+35i+24i+42i^2=20+59i-42=-22+59i$$

Oposto, inverso e conjugado

• O oposto do número complexo x + yi é −x − yi. Como nos números reais, obtemos o oposto multiplicando o número complexo dado por menos um. Exemplo: o oposto de 2 + 7i é −2 − 7i. O oposto de −5 + 8i é 5 − 8i etc.

• O inverso do número complexo x + yi é $\frac{1}{x+yi}$. O inverso do número 4 − 2i é, portanto, $\frac{1}{4-2i}$.

• O conjugado do número x + yi é x − yi. Costuma ser representado com uma barra assim: $\bar{z}$, ou com um asterisco z*. Esse é o número conjugado do número complexo z. O conjugado do número 2 + 9i é o número 2 − 9i.

Subtração e divisão

Como já definimos o oposto e o inverso, podemos definir também as operações de subtração e divisão. Se queremos subtrair dois números complexos, z₁ − z₂, somamos ao número z₁ o oposto do número z₂. Na prática obtemos uma fórmula simples:

$$z_1-z_2=(x_1+y_{1}i)-(x_2+y_{2}i)=(x_1-x_2)+(y_1-y_2)i$$

Do mesmo modo, transformamos a divisão z₁ / z₂ em multiplicação, multiplicando z₁ · z₂′, em que z₂′ é o inverso do número z₂.

Módulo

Calculamos o módulo (valor absoluto) do número complexo z pela fórmula:

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$$

(Na raiz quadrada, o segundo z é o conjugado de z.) O significado dessa fórmula fica bem claro na representação geométrica dos números complexos.

Todo número complexo cujo módulo é igual a um se chama número complexo de módulo 1 (ou número complexo unitário). Exemplos de números complexos de módulo 1: 1, i, $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$.

Propriedades do módulo:

• O módulo de um número complexo é um número real.
• |z| ≥ 0
• |z| = |−z| = |z*|, em que z* é o conjugado.