Números racionais

Os números racionais são todos os números que podem ser escritos como quociente de dois números inteiros, ou seja, na forma de fração.

Definição

Assim, os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma

$\frac{a}{b} a, b \in Z, b \neq 0.$

A condição de que os dois números sejam inteiros tem um sentido evidente. Se você escolhesse um número que não é racional, por exemplo π, e montasse uma fração assim:

$\frac{π}{1},$

obteria de volta o número π, que não é racional. Por isso, o denominador e o numerador precisam ser inteiros. E, como não podemos dividir por zero, o denominador precisa ser diferente de zero.

Podemos dizer também que os números racionais são os números com representação decimal finita e os números com representação decimal infinita em que alguma parte se repete periodicamente. Veja exemplos de números racionais, primeiro na forma de fração:

$\frac{1}{3}, - \frac{5}{9}, \frac{13}{29}, \frac{4}{1}, \dots$

e depois na forma de número decimal: 0,1; −5; 14,5; −12,93; 0,33333…= $0, \overset{―}{3}$

Dízimas periódicas

No exemplo anterior tínhamos o número 0,3333… Ele é a representação decimal da fração 1/3 e é um número com representação decimal infinita. Mesmo assim, é racional, porque a representação é periódica. Representação periódica significa que, a partir de certo ponto, a mesma sequência de algarismos se repete sem parar. No nosso caso, o algarismo 3 se repetia até o infinito. Mas poderia se repetir, por exemplo, a sequência de algarismos 12345: ainda seria um número com período, um número racional.

Portanto, todo número com representação decimal finita é um número racional. Todo número com representação decimal infinita em que alguma parte se repete periodicamente também é um número racional. Um número com representação decimal infinita em que nenhuma parte se repete periodicamente é um número irracional.

O período é indicado com três pontos ou, mais frequentemente, com uma barra sobre os algarismos que se repetem periodicamente. Pode se repetir um único algarismo, mas também vários. O período pode começar logo no início da parte decimal ou em qualquer ponto depois. Todas estas são dízimas periódicas:

$\begin{array}{rclcl} 7 / 3 & = & 2,333 33 \dots & = & 2, \overset{―}{3} \\ 16 / 11 & = & 1,454 545 \dots & = & 1, \overset{―}{45} \\ 11 / 6 & = & 1,833 333 \dots & = & 1, 8 \overset{―}{3} \end{array}$

Notação e significado

Os números racionais são representados pela letra Q com os arcos duplicados: ℚ. A letra vem do inglês “quotient”, em português “quociente”, que é o resultado de uma divisão.

Os números racionais são usados para indicar uma parte de um todo. Por exemplo, “metade” ou “um décimo”. Essas são partes de um todo que podem ser expressas, nos números racionais, como os quocientes 1/2 e 1/10. Nesses casos, o denominador indica o todo e o numerador indica a parte do todo. Se o numerador é igual ao denominador, significa que temos o todo inteiro. Essas quantidades costumam ser convertidas em porcentagens.

Propriedades

Os números racionais formam um conjunto enumerável infinito.

Os números racionais são fechados em relação à adição, à subtração, à multiplicação e à divisão. Isso significa que, ao dividir dois números racionais, obtemos de novo um número racional. Essa é uma diferença em relação aos números inteiros, que não eram fechados em relação à divisão.
Os números racionais contêm todos os números inteiros. Se todos os números racionais podem ser expressos como fração a/b, basta tomar b = 1 e, depois da divisão a/1 = a, obtemos sempre de volta o valor do numerador.
Se tomarmos dois números racionais a e b tais que a < b, sempre encontraremos outro número racional q tal que a < q < b. Em outras palavras, entre quaisquer dois números racionais sempre podemos encontrar outro número racional. Vale até uma versão mais forte: entre quaisquer dois números racionais existem infinitos outros números racionais.
Uma consequência da propriedade anterior é que não existe o menor número racional positivo (nem o maior negativo). Podemos mostrar isso por demonstração por absurdo. Seja m o menor número racional positivo. Então não deveríamos conseguir encontrar um número racional positivo menor. No entanto, pela propriedade anterior, vale 0 < m e, portanto, existe um número racional s tal que 0 < s < m. Encontramos um número s que é maior que zero (é positivo) e menor que o número m. Isso contradiz o fato de m ser o menor número racional positivo.

Operações com números racionais

Todas as operações comuns e básicas estão descritas no artigo sobre frações.

Conversão de uma dízima periódica em fração

Como toda dízima periódica é também um número racional, deve ser possível convertê-la em fração. Vamos ver como fazer isso. Para começar, tomemos a dízima periódica a = 0,333… Escrevemos

$a = 0, \overset{―}{3}$

Agora faremos as transformações equivalentes de equações de sempre e multiplicaremos a equação inteira por dez:

$10 a = 3, \overset{―}{3}$

No lado direito, um 3 passou para a casa das unidades, e depois da vírgula continuam existindo infinitos 3. Agora subtraímos da equação o valor de a, ou seja, subtraímos 0,333…, e com isso nos livramos da representação infinita.

$9 a = 3$

Esse passo talvez tenha sido um pouco complicado, então vou escrevê-lo por extenso. Fizemos esta operação:

$\begin{array}{ccccccc} 3 & , & 3 & 3 & 3 & \dots \\ - & 0 & , & 3 & 3 & 3 & \dots \\ = & 3 & , & 0 & 0 & 0 & \dots \end{array}$

Basta dividir a equação 9a = 3 por nove e obtemos o resultado:

$a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Vamos tentar mais um exemplo:

$a = 1,454 545 \dots = 1, \overset{―}{45}$

O procedimento será um pouco diferente. No exemplo anterior, o período tinha comprimento um. Para ser mais exato, o período poderia ter o comprimento que quiséssemos, porque os mesmos algarismos continuavam se repetindo, mas nos convinha que ele tivesse comprimento um. Agora temos um período de comprimento dois. De novo, poderíamos tomar um período de comprimento seis, mas isso não nos convém. Para subtrair realmente o período inteiro, desta vez precisamos multiplicar por cem:

$100 a = 145, \overset{―}{45}$

Subtraímos um a:

$99 a = 144$

E dividimos por 99:

$a = \frac{144}{99} = \frac{16}{11}$

Se você tentar dividir esses números na calculadora, vai obter exatamente 1,454545… Só que a maioria das calculadoras arredonda, então o resultado mostrado pode ser um pouco diferente.

Uma curiosidade com 0,9999…

Só por curiosidade, vamos converter em fração a dízima periódica

$a = 0, \overset{―}{9}$

Multiplicamos por dez:

$10 a = 9, \overset{―}{9}$

Subtraímos a:

$9 a = 9$

Dividimos por nove:

$a = 1$

Vemos que obtivemos 1, ou seja, vale que o número 0,999… é igual ao número 1.