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Completar quadrados

Com o método de completar quadrados, podemos expressar a função quadrática ax2 + bx + c na forma (x + m)2 + n.

Algoritmo de completar quadrados

O algoritmo usa a fórmula clássica do quadrado da soma:

(a+b)2=a2+2ab+b2

O procedimento é o seguinte. Por enquanto, vamos supor que a = 1. Imagine que temos a função quadrática f(x) = x2 + 6x + 1 e queremos convertê-la na forma (x + m)2 + n. Primeiro determinamos os valores do primeiro parêntese: (x + m)2. Que número temos de colocar no lugar de m? Pela fórmula, tem de valer a igualdade (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. Na função f temos x2, isso está certo. Mas no lugar do termo de 1º grau temos 6x. Que valor temos de escolher para m para que valha 6x = 2mx? Evidentemente, tem de valer m = b/2 = 6/2 = 3. Para m, portanto, sempre escolhemos a metade do valor do coeficiente b da função quadrática.

Obtivemos, assim, a forma (x + 3)2 + n. Resta determinar o número n. Já sabemos que vale (x + m)2 = x2 + 2mx + m2. A parte x2 + 2mx é a desejada, mas a expressão m2 está sobrando ali, na função f não há nenhum equivalente. Por isso, do resultado atual subtraímos m2. Obtemos, assim, a forma (x + m)2 − m2, que, depois de eliminarmos os parênteses, é igual a x2 + 2mx + m2 − m2. Depois da subtração, temos apenas x2 + 2mx.

Na função f, porém, ainda temos o termo independente c. Esse simplesmente somamos. Obtemos, assim, a forma (x + m)2 − m2 + c, depois de eliminarmos os parênteses x2 + 2mx + m2 − m2 + c e, depois de simplificar, x2 + 2mx + c. Como m = b/2, essa expressão é igual a x2 + bx + c, ou seja, depois de desenvolvermos a expressão (x + m)2 − m2 + c, obtemos de volta a função original; calculamos corretamente. (Repito que a = 1, então não falta nada ali.)

Para a função de exemplo f, obtemos, portanto, a expressão na forma de um quadrado (x + 3)2 − 9 + 1 = (x + 3)2 − 8. Podemos tentar desenvolvê-la de volta:

(x+3)2−8=x2+6x+9−8=x2+6x+1

O método de completar quadrados é usado, por exemplo, quando você quer desenhar o gráfico de uma função quadrática.

Quando a ≠ 1

No caso em que temos uma função para a qual não vale a = 1, procedemos colocando o número a em evidência na função toda e continuamos como já sabemos fazer. Exemplo:

2x2+16x−12=0

Colocamos o 2 em evidência em toda a expressão:

2⋅(x2+8x−6)=0

A função dentro do parêntese já sabemos converter em um quadrado.

x2+8x−6=(x+4)2−16−6=(x+4)2−22

Substituímos esse resultado na equação anterior e obtemos:

2⋅(x2+8x−6)=2((x+4)2−22)=2(x+4)2−44