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Números algébricos

Um número que é raiz de algum polinômio com coeficientes inteiros chama-se número algébrico. O que isso significa na prática? Podemos pegar qualquer número e fazer com ele um jogo matemático. O objetivo do jogo é pegar um número x e reduzi-lo a zero, usando apenas as operações de adição, subtração, multiplicação e potenciação, e só podemos usar números inteiros nas transformações. Com exemplos ficará mais claro.

Vamos começar com o número 42. Como o transformaríamos para obter zero? Podemos subtrair dele o número inteiro 42 e obtemos zero (multiplicar por zero não é permitido):

42−42=0

Como conseguimos reduzir o número 42 a zero, o número 42 é algébrico. Isso foi bem trivial. E uma fração, por exemplo 73? Como só podemos trabalhar com números inteiros, não podemos subtrair 73 dessa fração para obter zero. Precisamos dar um jeito diferente. Primeiro multiplicamos a fração por três:

3⋅73=3⋅73=7

Obtivemos um número inteiro, e este já sabemos converter em zero: subtraímos sete. Assim podemos escrever

3⋅73−7=0

e dizer que a fração sete terços também é um número algébrico. Vamos pegar um número ainda mais complicado, a raiz quadrada de dois: 2. Nenhuma multiplicação nem adição nos ajuda, primeiro precisamos nos livrar da raiz. Elevamos a expressão ao quadrado:

(2)2=2

Obtivemos um número inteiro que sabemos converter em zero, subtraímos dois:

(2)2−2=0

Até a raiz quadrada de dois, que é um número irracional, é um número algébrico. Até agora parece que todo número que tentamos é algébrico. E o número de Euler e? Ele também é irracional, então tem representação decimal infinita sem repetição, como a raiz quadrada de dois. Seu valor aproximado é 2,71. Mas, diferentemente da raiz quadrada de dois, não existe jeito de reduzi-lo a zero com as operações que permitimos. Por mais que somemos alguma coisa ao número de Euler, o multipliquemos ou o elevemos a uma potência, sempre obtemos de novo outro número irracional. Por isso, o número de Euler não é um número algébrico, oba!

Do mesmo modo, o número π (3,14) não é um número algébrico.

Chamamos de transcendentes os números que não são algébricos.

Definição mais precisa

Para todo número algébrico, portanto, deve existir um polinômio com coeficientes inteiros cuja raiz seja exatamente esse número algébrico. A raiz de um polinômio é o número para o qual o polinômio é igual a zero. Voltando aos exemplos de cima, para o número 42 obteríamos a equação

x−42=0

e, como a raiz do polinômio x − 42 é justamente x = 42, isso significa que 42 é um número algébrico. Para o número racional 73 seria a equação

3x−7=0

porque a raiz do polinômio 3x − 7 é justamente x=73. E, por fim, para a raiz quadrada de dois obteríamos

x2−2=0

porque a raiz do polinômio x2 − 2 é justamente a raiz quadrada de dois. Para o número de Euler ou para o π não conseguimos montar nenhuma equação nem polinômio desse tipo, porque são números transcendentes e não são números algébricos.

Exemplos de números algébricos

  • Todo número inteiro também é algébrico.
  • Todo número racional (fração) é algébrico.
  • Os números irracionais já são mais complicados. Como vimos, alguns números irracionais são algébricos, como a raiz quadrada de dois, mas outros não são, como o número de Euler.
  • Toda raiz n-ésima de um número inteiro é algébrica.
  • A razão áurea é um número algébrico.