Infinito

O infinito é um conceito abstrato que, no fundo, nem dá para imaginar. O infinito em si não tem fim, daí também o nome, mas o infinito em geral não tem nem começo (podemos, porém, especificá-lo melhor: por exemplo, uma semirreta também é infinita, mas tem começo). O infinito costuma ser escrito com o chamado “oito deitado” – ∞.

Calculando com infinitos

O infinito é em parte parecido com o zero, que também é especial em muitos aspectos e para o qual valem regras especiais. Por exemplo, você não pode dividir por zero, isso provavelmente toda criança pequena sabe (aliás, você conhece esta piada? Qual é a melhor desculpa quando você não fez a lição de casa de matemática? “Professora, eu comecei a dividir por zero sem querer e o meu caderno pegou fogo…” ;o)).

Assim como qualquer coisa vezes zero é zero, também vale que qualquer coisa vezes infinito ou qualquer coisa mais infinito é infinito. Se você subtrair do infinito um número, por maior que seja, sempre sobrará infinito. O mesmo vale se você tentar dividir o infinito. O infinito é simplesmente tão grande que, mesmo que você subtraia dele milhões a cada segundo, ainda assim sempre sobrará infinito. Às vezes isso é um pouco difícil de entender; por exemplo, considere esta equaçãozinha: ∞ + 1 = ∞. Vale ou não vale?

A lógica nos diz que o lado esquerdo da equação é maior: se somo um ao infinito, a expressão toda tem de ser maior que o simples infinito. Não precisa :-). Como eu já disse, infinito mais qualquer coisa é infinito. Ou seja, infinito mais um é infinito, e infinito é igual a infinito. A equação vale.

Dá para achar outro caminho, por meio dos limites. Considere agora a fração 1/x e calculemos o limite à direita quando x→0⁺, supondo que o nosso caderno não pegou fogo. Esse limite seria igual a infinito. Se você somar um a essa expressão, terá a expressão (1+x)/x, e o limite quando x→0⁺ seria novamente infinito.

A graça começa quando passamos a combinar mais infinitos. Por exemplo, a que é igual a expressão infinito menos infinito? A lógica nos diz que estamos subtraindo dois números do mesmo tamanho, portanto o resultado será zero. Também disse que, se subtrairmos do infinito um número qualquer, o resultado será novamente infinito. Ao contrário, se subtrairmos o infinito de um número qualquer, obteremos menos infinito. Então, como sair dessa? Todos os resultados são teoricamente possíveis. A matemática diz que a expressão ∞ −∞ não é igual a nada em particular, é uma expressão indefinida/indeterminada. É um caso parecido com quando você tenta dividir por zero, simplesmente não faz sentido. Se você se deparar com uma expressão indeterminada como essa, precisa transformar a expressão de alguma maneira (em alguns tipos de expressões indeterminadas, dá para usar, por exemplo, a regra de L'Hôpital [lê-se “lopital”]).

Outras expressões indefinidas/indeterminadas:

• ∞ − ∞
• ∞/∞
• 0/0
• 0 · ∞
• 0⁰
• ∞⁰
• 1^∞

A propósito, valem as operações básicas com sinais; por exemplo, −1 · ∞ é igual a menos infinito.

Quer ficar maluco?

Então encare a teoria dos conjuntos e calcule qual conjunto é maior. Por exemplo, é maior o conjunto dos números pares ou o dos ímpares? Dos pares ou dos naturais? Dos naturais ou dos inteiros? Dos pares ou dos inteiros? Dos naturais ou dos racionais? A resposta é que todos têm o mesmo tamanho. Embora possa parecer estranho (deve haver mais números inteiros do que números ímpares, afinal), são conjuntos do mesmo tamanho. Já o conjunto dos números reais é maior que os conjuntos mencionados. Haja cabeça para entender isso ;-)