Intervalo

Os intervalos são muito usados na matemática e aparecem em quase qualquer definição. Um intervalo é um conjunto de pontos delimitado por dois pontos extremos. Além disso, distinguimos intervalos abertos e fechados.

Descrição básica

Usamos intervalos também na linguagem do dia a dia, por exemplo: “pela cor errada dos seus olhos você pode receber uma multa de dez a vinte mil reais”. No exemplo foi usada a expressão “de dez a vinte”, mas, matematicamente falando, trata-se de um intervalo. Agora, porém, surgem perguntas traiçoeiras: você pode receber uma multa de exatamente dez mil reais ou o valor extremo do intervalo não conta? Com que precisão posso escolher a multa? Posso aplicar uma multa de R$ 18.541,97? Ou só posso variar, por exemplo, de cem em cem? Ou seja, R$ 18.500 ou R$ 18.600?

Tudo isso é resolvido pela notação matemática. Nela, precisamos dizer duas coisas essenciais: em que conjunto estamos nos movendo (no contexto do exemplo — centenas? Milhares? Unidades de reais?) e se os extremos pertencem ao intervalo (posso receber uma multa de exatamente dez ou vinte mil?).

A boa notícia é que, na imensa maioria dos casos na matemática, queremos que o intervalo trabalhe com o conjunto dos números reais; portanto, se você encontrar um intervalo sem especificação do conjunto, trata-se com certeza de números reais.

Já temos o conjunto de referência; agora, como indicar se queremos levar em conta os extremos? Os intervalos são escritos com colchetes. O colchete voltado para dentro, como em [a, b], indica que o extremo pertence ao intervalo; o colchete voltado para fora, como em ]a, b[, indica que o extremo não pertence. Isso se chama abertura e fechamento. Se um extremo pertence ao intervalo, o intervalo é fechado; se não pertence, é aberto.

Exemplos

A seguir vêm exemplos (todos no conjunto dos números reais, se não se disser o contrário):

• [1, 2]   Intervalo fechado de um a dois. No intervalo estão todos os números reais entre o um e o dois, incluindo o um e o dois.
• ]1, 2[   Intervalo aberto de um a dois. No intervalo estão todos os números reais entre o um e o dois, mas os próprios números um e dois não pertencem a ele.
• [0, 1[   O intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita. No intervalo estão todos os números entre o zero e o um, incluindo o próprio zero, mas o um não pertence ao intervalo.
• ]p, q]   O intervalo é aberto à esquerda e fechado à direita. No intervalo estão todos os números entre p e q, incluindo o número q, mas excluindo o número p.
• [0, +∞[   Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Se você tem o infinito no intervalo, use desse lado o intervalo aberto: o infinito não tem um extremo finito, e um intervalo fechado ali não faz sentido.
• [1, 5] ⊂ ℕ^*   Aqui há uma mudança: não trabalhamos com o conjunto dos números reais, mas com o conjunto dos números naturais (sem o zero). Temos um intervalo fechado nos dois lados e, nesse intervalo, há ao todo cinco números: 1, 2, 3, 4 e 5.
• ]1, 5] ⊂ ℕ^*   O mesmo caso de agora há pouco, só que o intervalo é aberto à esquerda, então o um não pertence ao intervalo, e a lista de todos os elementos do intervalo é: 2, 3, 4 e 5.

Intervalo como conjunto

Como se vê, um intervalo nada mais é que um subconjunto do conjunto sobre o qual ele é definido. Por isso podemos trabalhar com intervalos como com conjuntos e realizar com eles operações de conjuntos. Por exemplo, a união poderia ser assim:

$$[0,5]\cup [5,10]=[0,10]$$

Cuidado com os intervalos abertos: neles essa igualdade não valeria, porque o cinco não pertence ao intervalo resultante:

$$]0,5[\cup ]5,10[\ne ]0,10[$$

O correto poderia ser, por exemplo, assim:

$$]0,5[\cup ]5,10[=]0,10[-\{5\}$$

Quando usar um intervalo aberto

É preciso entender a diferença entre o intervalo aberto e o fechado. Um caso frequente de uso do intervalo aberto é, por exemplo, o domínio do logaritmo. Podemos usar o logaritmo com qualquer número real positivo, o que significa que não podemos usá-lo com um número negativo nem com o zero. Como escrevemos isso?

$$D(\ln )=]0,+\mathrm{\infty }[$$

Essa notação diz que podemos usar o logaritmo com qualquer número positivo, por menor que seja, mas não podemos usá-lo com o zero. Assim, por exemplo, o número 1 pertence ao intervalo, o número 0,001 também, bem como o número 0,0000000001 ou 10⁻⁶⁶⁶. Mas o zero já não pertence ao intervalo. Do mesmo modo, poderíamos escrever o domínio de uma função com uma fração, por exemplo a simples f(x) = 1/x.

$$D(f)=]-\mathrm{\infty },0[\cup ]0,+\mathrm{\infty }[$$

Isso delimita o conjunto dos números reais sem o zero. Em nenhum dos intervalos o zero está na posição de um extremo fechado, por isso o zero também não estará na união resultante. No entanto, podemos usar qualquer número positivo, por menor que seja, ou qualquer número negativo, por maior que seja em módulo (entre os números negativos, −0,001 é maior que −0,1; por isso dizemos “por maior que seja em módulo” e não “por menor que seja”).

Interpretação geométrica

Costumamos representar os intervalos na reta numérica como segmentos, e os extremos são desenhados conforme o intervalo seja fechado ou aberto. Se o intervalo é fechado, a bolinha que representa o ponto será preenchida; se é aberto, será vazia, será apenas o contorno, só uma circunferência.

A figura a seguir mostra a representação de três intervalos, sempre de dois a seis, mas que diferem no fechamento dos lados. Assim, em ordem, serão mostrados estes intervalos: [2, 6], ]2, 6], ]2, 6[.