Propriedade comutativa

A comutatividade é uma propriedade de operações como, por exemplo, a adição. Podemos notar que, na adição, a ordem não importa, então 3 + 5 é o mesmo que 5 + 3. Quaisquer que sejam os dois números reais que somamos, a + b, o resultado será o mesmo, mesmo que troquemos a ordem das parcelas: b + a. Se uma operação cumpre essa condição, dizemos que ela é comutativa.

Um exemplo de outra operação comutativa é a multiplicação, porque 2 · 6 tem o mesmo resultado que 6 · 2, e o mesmo vale para quaisquer dois números a, b:

$$a\cdot b=b\cdot a$$

Um exemplo de operação que não é comutativa é a subtração, porque 7 − 4 é diferente de 4 − 7. No primeiro caso obtemos o resultado 3; no segundo, obtemos −3. Outro exemplo é a divisão, porque 2 / 5 é diferente de 5 / 2.

Mas tome cuidado com outras propriedades das operações, por exemplo com a prioridade da multiplicação. Se temos a expressão 1 + 2 · 3, não podemos dizer que ela é o mesmo que 2 + 1 · 3. A multiplicação tem prioridade sobre a adição. Os parênteses ajudam: a expressão 1 + 2 · 3 é igual a 1 + (2 · 3). Se queremos aplicar a propriedade comutativa da adição, podemos, mas precisamos levar junto o parêntese inteiro: 1 + (2 · 3) é igual a (2 · 3) + 1, que é igual a (3 · 2) + 1, se ainda aplicarmos a comutatividade da multiplicação.

Operações com conjuntos e comutatividade

Não são só as operações com números que podem ser comutativas; as operações com conjuntos, por exemplo, também podem. Por exemplo, a interseção de conjuntos A e B é uma operação comutativa. A interseção de dois conjuntos é formada pelos “elementos que estão nos dois conjuntos”, ou seja,

$$A\cap B=B\cap A$$

Exatamente do mesmo modo funcionará a união dos conjuntos A e B, cujo resultado são os “elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos” e, portanto:

$$A\cup B=B\cup A$$

Não é comutativa, por exemplo, a diferença de conjuntos.

Vetores

Outra operação comutativa pode ser encontrada entre as operações com vetores: a adição de vetores — em geral, a adição costuma ser uma operação comutativa. Neste caso, se temos dois vetores $\overrightarrow{u}$ e $\overrightarrow{v}$, vale que

$$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$$

Graficamente, isso é mostrado pela figura a seguir:

A soma $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ é representada pelo “caminho de cima”, em que primeiro aplicamos o vetor vermelho $\overrightarrow{u}$ e só depois o vetor azul $\overrightarrow{v}$. A soma $\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$ é representada pelo “caminho de baixo”: primeiro seguimos o caminho do vetor azul $\overrightarrow{v}$ e depois o do vetor vermelho $\overrightarrow{u}$. O resultado, porém, é o mesmo, os vetores terminam no mesmo ponto.

Você pode imaginar como se tivesse saído de algum lugar e andado cinquenta metros para o norte e depois vinte metros para o oeste. Se primeiro andasse vinte metros para o oeste e depois cinquenta metros para o norte, você terminaria no mesmo lugar. Esse tipo de caminhada é, portanto, comutativo.

Lógica

Entre as operações comutativas também estão os operadores lógicos “e” (conjunção) e “ou” (disjunção). Isso significa que a proposição “o número 5 é ímpar e, ao mesmo tempo, primo” tem o mesmo valor lógico que a proposição “o número 5 é primo e, ao mesmo tempo, ímpar”. Do mesmo modo para a disjunção: “o número 6 é primo ou é par” tem o mesmo valor lógico que a proposição “o número 6 é par ou é primo”.

Mas a implicação não é comutativa, ou seja, a proposição “se eu ganhar na loteria 6 de 49, então ficarei rico” não é a mesma coisa que “se eu ficar rico, então ganharei na loteria 6 de 49”.