De onde vem o número de Euler

O número de Euler é uma das constantes matemáticas mais conhecidas, junto com o número π — π. Vamos ver como chegamos a esse número e o que ele significa.

No século XVII, o matemático suíço Jacob Bernoulli se interessou pelos juros compostos. Imagine que temos R$ 1,00 e o depositamos em um banco que nos oferece juros de 100% ao ano. É pura loucura da parte do banco, mas o que ele não faria pelo bem da matemática. Quanto dinheiro teremos na conta exatamente depois de um ano? Teremos R$ 2,00.

Como a situação mudaria se o banco nos oferecesse juros de 50%, capitalizados a cada seis meses? Seria mais vantajoso para nós ou menos?

Depois dos primeiros seis meses, teríamos metade a mais. Em matemática, escrevemos “metade a mais” como $x\cdot (1+\frac{1}{2})$. No lugar de x colocamos o nosso depósito, isto é, R$ 1,00, e calculamos

$$1\cdot (1+\frac{1}{2})=1,5$$

Depois de seis meses temos na conta R$ 1,50. Depois de mais seis meses, teríamos de novo metade a mais. Usamos a mesma fórmula, só que no lugar de x colocamos o nosso novo saldo, isto é, 1,5:

$$1,5\cdot (1+\frac{1}{2})=2,25$$

Depois de um ano temos, portanto, R$ 2,25 na conta. Uma capitalização mais frequente com juros menores é, então, vantajosa para nós.

Capitalização mensal

E se o banco nos oferecesse capitalização todo mês, mas com juros de um doze avos dos juros originais? Ufa, aí vamos ter de fazer bastante conta. Que saldo teremos depois do primeiro mês? Teremos “um doze avos a mais”, o que escrevemos como $x\cdot (1+\frac{1}{12})$. Depois do primeiro mês, teremos então:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,083}3333\dots$$

Depois do segundo mês, teremos

$$\mathrm{1,083}3333\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Mas observe que, no lugar do número 1,0833333, podemos usar a expressão $1\cdot (1+\frac{1}{12})$, porque sabemos que esses números são iguais:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,173}61111\dots$$

Depois do terceiro mês, teremos na conta:

$$1\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})\cdot (1+\frac{1}{12})=\mathrm{1,271}41203$$

Como você vê, o nosso cálculo segue um certo padrão. A expressão entre parênteses se repete tantas vezes quanto o número do mês que estamos calculando. Podemos simplificar a expressão anterior: em vez de três parênteses iguais, escrevemos um só e o elevamos ao cubo:

$$1\cdot {(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

E a multiplicação por 1 no início também é desnecessária, então a eliminamos:

$${(1+\frac{1}{12})}^3=\mathrm{1,271}41203$$

Se agora quisermos calcular o saldo depois de doze meses, basta usar o número 12 no expoente, no lugar do 3:

$${(1+\frac{1}{12})}^{12}=\mathrm{2,613}0352$$

Depois de doze meses temos na conta aproximadamente R$ 2,61. Nada mal! E é bem melhor do que quando tínhamos juros anuais de 100%.

Capitalização contínua

Não precisamos parar nos meses. Quanto teríamos se capitalizássemos toda semana, com juros de $\frac{1}{52}$ dos juros originais? Como já conhecemos a fórmula, basta substituir:

$${(1+\frac{1}{52})}^{52}=\mathrm{2,692}5969$$

Juros diários?

$${(1+\frac{1}{365})}^{365}=\mathrm{2,714}5674$$

Juros por hora? (O ano tem 8.760 horas)

$${(1+\frac{1}{8760})}^{8760}=\mathrm{2,718}126$$

Vemos que, sempre que tomamos juros menores e capitalizamos com mais frequência, no final ficamos com um pouco mais de dinheiro na conta. Mas os aumentos já não são tão grandes. Poderíamos continuar assim até o infinito. Aliás, não é uma má ideia — poderíamos capitalizar a cada minuto, a cada segundo, a cada milissegundo, a cada nanossegundo… até chegarmos ao ponto de capitalizar o tempo todo. Teríamos juros contínuos minúsculos, com os quais capitalizaríamos o saldo a cada instante. Quanto dinheiro teríamos na conta depois de um ano nesse caso?

De volta ao número de Euler

Essa é a pergunta que Jacob Bernoulli tentou responder. Para o azar dele, não conseguiu; quem conseguiu foi só o célebre matemático Leonhard Euler, no século XVIII. Ele calculou que, depois de um ano, teríamos na conta

$$\mathrm{2,718}28182845904523536028747135\dots$$

reais. Veja que já não é muito mais do que quando creditávamos os juros a cada hora. E, como esse saldo, esse número, se revelou muito importante em várias áreas da matemática, ele se chama até hoje número de Euler e é representado pela letra e. O número de Euler é um número irracional, isto é, um número com representação decimal infinita e não periódica. Assim como, por exemplo, o número π. Você nunca o verá inteiro. Mesmo assim, podemos definir o número de Euler com exatidão por meio do limite de uma função:

$$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$$

Fontes e links

• Um episódio perfeito do canal em inglês Numberphile sobre o número de Euler.
• Como calcular os juros de um financiamento imobiliário