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Números inteiros

Os números inteiros são os números que não têm parte decimal. Eles contêm os números naturais, os seus opostos (os números negativos) e o zero.

Propriedades

Números voando

Os números inteiros formam o conjunto dos números …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Esse conjunto costuma ser representado pela letra Z com o traço do meio duplicado: ℤ. A letra vem do alemão “Zahlen” (números). Os números inteiros formam um conjunto infinito e enumerável.

Os números inteiros têm, por exemplo, estas propriedades:

  1. São fechados em relação à adição e à multiplicação, assim como os números naturais. Isso significa que, se somarmos dois números inteiros, obtemos de novo um número inteiro.
  2. Ao contrário dos naturais, os números inteiros são fechados também em relação à subtração. Os naturais não eram, porque a diferença de dois números naturais podia ser um número negativo. No caso dos inteiros isso não é problema, porque eles incluem os números negativos.
  3. Assim como os números naturais, não são fechados em relação à divisão. Continua valendo que, ao dividir, podemos obter um número não inteiro.
  4. Para cada número inteiro c existe o oposto −c. Se temos o número 10, o oposto é −10. Para 55, é −55. E o mesmo vale para os números negativos: para −13, o oposto é 13. Se temos um número inteiro c e o seu oposto −c, a soma deles é zero: c + (−c) = 0. Por isso, o oposto de zero é o próprio zero.

Números pares e ímpares

Podemos dividir os números inteiros em pares e ímpares. Os números pares são os divisíveis por 2, ou seja, 2, −4, −8, 40, 124 etc. Os números ímpares deixam resto 1 na divisão por 2, isto é, são números como −1, 1, 5, 19, −41 etc. Observe que também nos números negativos distinguimos a paridade (o número −5 é de fato ímpar) e que o zero é um número par.

Propriedades em relação à adição: se você somar dois números pares, obtém de novo um número par. As outras propriedades aparecem na tabela a seguir:

par+par=parpar+ímpar=ímparímpar+ímpar=par

Uma tabela parecida para a multiplicação:

par⋅par=parpar⋅ímpar=parímpar⋅ímpar=ímpar

Divisão com resto

Também no conjunto dos números inteiros podemos definir a divisão com resto, como fizemos nos números naturais, só que agora precisamos lidar com os números negativos. Assim, a definição básica fica desta vez assim:

a=q⋅b+r,a,q∈Z,b∈Z−{0},0≤r<|b|

Nessa expressão dividimos a:b, o número q é o resultado (quociente) e o número r é o resto da divisão. O número b precisa ser diferente de zero, pois não podemos dividir por zero. O resto precisa ser não negativo e menor que o módulo de b, o que garante que o quociente e o resto sejam determinados de modo único.

Como ficaria uma divisão assim? Vamos tentar dividir −21:4. Os números ficariam assim:

−21=−6⋅4+3

O resultado (quociente) é −6 e o resto é 3. Pode surpreender que o resultado seja diferente do caso em que todos os números são positivos:

21=5⋅4+1

Aqui o resultado (quociente) seria 5 e o resto 1. A diferença está justamente nos números negativos. Nos números positivos, no primeiro passo procuramos o maior número inteiro que não é maior que 21 e é divisível por 4 sem resto. Esse número é 20. Por isso dividimos 20:4 = 5 e obtemos o nosso 5. O resto sai da diferença 21 − 20.

Nos números negativos procedemos do mesmo modo. Procuramos o maior número que não é maior que −21 e é divisível por 4 sem resto. Mas o número −20 é maior que −21. Por isso, o maior número que não é maior que −21 e é divisível por 4 sem resto é o número −24. O resto sai de novo da diferença −21 − (−24) = −21 + 24 = 3.

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