Sunt mai multe numere pare sau impare?
Ce crezi, care numere sunt mai multe? Cele pare sau cele impare? Sau sunt la fel de multe? Cum am putea hotărî? Dar celelalte numere? Există mai multe numere pare sau numere naturale? Mai multe numere naturale sau numere raționale? Nu e chiar simplu, pentru că toate aceste numere sunt infinit de multe. Totuși putem să le comparăm și să ne dăm seama care sunt mai multe și care mai puține.
Hai să încercăm pe o mică mulțime de numere. Să ne imaginăm două mulțimi de numere: numerele albastre și numerele roșii:
Putem spune cumva care sunt mai multe? Cele roșii sau cele albastre? Se vede clar că… Ce? Că nu deosebești culorile și nu vezi clar? Bine, de acum încolo vom desena numerele roșii ca pătrățele:
Bun, acum se vede clar că numerele albastre sunt mai multe decât cele roșii. A fost simplu, pentru că lucrăm cu mulțimi finite de numere, deci le putem număra. Vedem că avem șase numere albastre și doar trei roșii. Mulțimile infinite nu vor fi atât de simple, pentru că nu le putem număra. Hai deci să răspundem la întrebarea din titlu: sunt mai multe numere pare sau impare? Pentru simplitate rămânem la numerele pozitive. Imaginează-ți un sac plin cu toate numerele impare și un sac plin cu toate numerele pare. Care sac este mai mare?
Ei bine, nu e deloc simplu să-ți imaginezi o infinitate de numere, iar să le numeri e și mai greu. Nu există oare altă cale de a compara mărimea mulțimilor?
Compararea a două mulțimi finite
Imaginează-ți că avem un sac plin cu miri și un sac plin cu mirese. Dacă pentru fiecare mire avem câte o mireasă și pentru fiecare mireasă câte un mire, putem spune că avem același număr de miri și de mirese:
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Vezi? Fiecare mireasă din primul rând are mirele ei din al doilea rând și invers – fiecare soț are propria soție. Se poate întâmpla însă și altceva: fiecare mireasă ar avea un mire, dar nu fiecare mire ar avea o mireasă:
👰 👰 👰 👰 👰 ❌
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 🤵
Fiecare soție are un soț, dar un soț rămâne trist, fără pereche. Dacă ne rămâne un soț în plus, putem spune că avem mai mulți soți decât soții. La fel, dacă ne rămâne în plus o mireasă
👰 👰 👰 👰 👰 👰
🤵 🤵 🤵 🤵 🤵 ❌
putem spune că avem mai multe mirese decât soți.
Compararea a două mulțimi infinite
Putem folosi aceeași metodă pentru două mulțimi infinite? Putem asocia fiecare număr impar cu un număr par și fiecare număr par cu un număr impar, fără să folosim vreun număr de mai multe ori? Putem! Fiecare număr impar n îl putem asocia cu numărul par n + 1. Deci numărul 5 îl asociem cu 5 + 1, numărul 149 cu 150 și așa mai departe. Asocierea o arată animația următoare:
Pentru fiecare număr impar roșu avem un număr par albastru corespunzător, unic, și pentru fiecare număr par albastru avem un număr impar roșu corespunzător, unic. Am reușit să asociem toate numerele impare cu toate numerele pare. Asta înseamnă că numerele pare și cele impare sunt la fel de multe!
Bine, nu a fost chiar surprinzător, nu? Hai să comparăm alte mulțimi de numere: toate numerele naturale față de cele pare. Aici rezultatul va fi mai șocant.
Sunt mai multe numere naturale sau numere pare?
Care sunt mai multe? Cele naturale sau cele pare?
Se vede că numerele naturale le conțin pe toate cele pare. În plus, mai conțin și alte numere – cele impare. Deci e clar că numerele naturale trebuie să fie mai multe – doar conțin de două ori mai multe numere!
Ei, de-ar fi viața atât de simplă!
Pe noi nu ne interesează dacă o mulțime conține numere în plus. Ne interesează dacă putem asocia într-un fel numerele din două mulțimi diferite. Putem asocia fiecare număr par cu câte un număr natural? Chiar dacă numerele naturale sunt mai multe? Păi da, putem.
Fiecare număr natural p îl putem asocia simplu cu numărul par 2 · p și invers – fiecare număr par n îl putem asocia cu numărul natural n / 2. Deci numărul natural 5 îl asociem cu numărul par 10, iar numărul par 14 cu numărul natural 7 și așa mai departe. Asocierea pentru primele numere o arată animația următoare:
Deodată avem pentru fiecare număr natural un număr par unic și pentru fiecare număr par un număr natural unic! Ce contează că numerele naturale sunt mai multe? Ambele sunt infinit de multe și nu ne vor termina niciodată. Din punctul nostru de vedere, mulțimea numerelor pare este deci la fel de mare ca mulțimea numerelor naturale! 😱
E puțin contraintuitiv, dar așa este.
Sunt mai multe numere naturale sau numere raționale?
Numerele raționale sunt fracții. Toate numerele care se pot scrie sub forma p/q, unde p și q sunt numere întregi și q ≠ 0, sunt numere raționale. De exemplu ½, ¾ sau 8 sunt numere raționale, dar π nu este rațional. Numerele raționale sunt mult mai multe decât cele naturale. De exemplu, între numerele 2 și 4 există un singur număr întreg, anume 3, dar infinit de multe numere raționale. Ba chiar și între 0,001 și 0,002 există infinit de multe numere raționale. Atât de multe sunt!
Te-ai aștepta deci ca mulțimea numerelor raționale să fie neapărat mai mare decât mulțimea numerelor naturale. Dar, în același timp, bănuim cu toții că e o capcană la mijloc. Bine, hai să încercăm să asociem numerele raționale cu cele naturale. Începem prin a scrie numerele raționale într-un tabel:
Regula ar trebui să fie clară: toate fracțiile din primul rând au la numărător (deasupra liniei de fracție) un 1, iar la numitor numerele crescătoare 1, 2, 3 etc. Pe coloană este invers. Dacă am continua la infinit, am avea în tabel toate fracțiile existente. De exemplu, fracția 1478/517 se află pe rândul 1478 și în coloana 517. Hai să construim acum funcția noastră de asociere. Am putea-o construi așa:
- Numărul natural 1 îl asociem cu prima fracție din primul rând, adică cu 1/1
- Numărul natural 2 îl asociem cu a doua fracție din primul rând, adică cu 1/2
- Numărul natural 3 îl asociem cu a treia fracție din primul rând, adică cu 1/3
- Numărul natural 4 îl asociem cu a patra fracție din primul rând, adică cu 1/4
- …
Am reușit astfel să asociem toate numerele naturale? Da. Fiecare număr natural are perechea lui. Numărului natural 174 îi corespunde fracția 1/174. Dar e valabil și invers? Are fiecare fracție perechea ei printre numerele naturale? Ce pereche are fracția 2/3? Niciuna, pentru că cu funcția noastră nu am ajuns niciodată pe al doilea rând. Am asociat doar primul rând de fracții.
Înseamnă asta că numerele raționale sunt mai multe decât cele naturale? Din păcate nu – faptul că o strategie de asociere nu funcționează nu înseamnă că nu va funcționa alta. Hai să mergem de data asta pe diagonale:
- Numărul natural 1 îl asociem cu fracția 1/1 (prima diagonală),
- numărul natural 2 îl asociem cu fracția 1/2 (a doua diagonală),
- numărul natural 3 îl asociem cu fracția 2/1 (a doua diagonală),
- numărul natural 4 îl asociem cu fracția 1/3 (a treia diagonală),
- numărul natural 5 îl asociem cu fracția 2/2 (a treia diagonală),
- numărul natural 6 îl asociem cu fracția 3/1 (a treia diagonală),
- etc.
Strategia de asociere o poți vedea în animație:
Astfel putem acoperi toate fracțiile. Nicio diagonală nu este infinită, deci nu rămânem blocați în vreo diagonală „pentru totdeauna”. În cele din urmă fiecare fracție va avea un număr natural asociat și, desigur, fiecare număr natural va avea asociată o fracție unică.
Ei… de fapt nu chiar. Dacă ne uităm din nou la tabelul cu fracții, vedem că multe numere se repetă. De exemplu, fracțiile 1/1, 2/2, 3/3 etc. reprezintă același număr – numărul 1. La fel, fracțiile 1/2, 2/4 și 3/6 reprezintă o jumătate. De fapt, numerele naturale 1, 5, 13 etc. le asociem aceluiași număr rațional 1! Avem mai mulți miri care se însoară cu aceeași mireasă. Asta nu merge!
Din fericire, putem repara ușor. Pur și simplu tăiem din tabel toate fracțiile care nu sunt ireductibile, adică toate fracțiile care se pot simplifica. După această ștergere, în tabel rămân doar numere raționale unice, iar trucul nostru cu diagonalele va funcționa. Fiecare număr natural va fi asociat cu un număr rațional unic și invers.
Dar asta înseamnă că mulțimea numerelor naturale este la fel de mare ca mulțimea numerelor raționale!
Până acum pare că toate mulțimile infinite sunt la fel de mari. Există vreo mulțime infinită mai mare decât mulțimea numerelor naturale?
Sunt mai multe numere naturale sau numere reale?
Intră în joc ultima noastră speranță: numerele reale. Alte numere pe axa reală nu mai avem. Cum arată numerele reale? Numerele reale le conțin pe toate cele raționale și, în plus, pe toate cele iraționale. Dacă scriem un număr în formă zecimală, atunci un număr rațional:
- fie are o scriere zecimală finită, de exemplu 0,4841554,
- fie are o scriere zecimală infinită periodică: 0,1313131313…
Numerele iraționale, în schimb, au întotdeauna o scriere zecimală infinită și neperiodică. Un număr irațional este de exemplu π, egal cu 3,141592653… (fără perioadă). Să spunem de la început că numerele reale sunt mult mai multe decât cele raționale și deci decât cele naturale. Mulțimea numerelor reale este mai mare decât mulțimea numerelor naturale. Și cum demonstrăm asta?
Imaginează-ți că am găsit o strategie de asociere a tuturor numerelor naturale cu toate numerele reale. Să zicem că este aceasta:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… …
Să presupunem că în stânga avem toate numerele naturale, iar în dreapta toate numerele reale. Dacă ar fi adevărat, nu am putea găsi niciun număr real care să lipsească din dreapta. Dar, fiindcă am dat deja spoilerul că mulțimea numerelor reale este mai mare, înseamnă că în dreapta ne lipsește un număr. Da, dar care? Uite, de exemplu, vedem că lipsește numărul 0,4818063607183678. Dar dacă tocmai el se ascunde sub numărul 8?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 …
Și numărul 0,4208424736008147? Nici pe acela nu-l vedem. Dar dacă tocmai el se ascunde sub numărul nouă?
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
Așa nu merge. Fiindcă, desigur, nu putem scrie toate perechile (sunt infinit de multe), nu putem doar să ghicim dacă un anumit număr se află sau nu în tabel. Ar trebui să găsim un număr care diferă de toate numerele din dreapta tabelului, deși nu știm care sunt toate numerele din dreapta. Cum facem asta?
Pentru ca două numere să fie diferite, e suficient să difere printr-o singură cifră. De exemplu, numerele 0,123456 și 0,123457 nu sunt egale – dar diferă doar printr-o cifră. Ne e de ajuns. Putem deci să evidențiem în tabel, la al n-lea număr real, a n-a cifră după virgulă:
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 …
iar noul număr îl alcătuim astfel încât a lui n-a cifră după virgulă să difere de a n-a cifră a celui de-al n-lea număr real. Noul număr îl construim deci începând cu zero: 0,??? și prima cifră după virgulă o alegem diferită de prima cifră a primului număr real, adică diferită de 3. Scriem, să zicem, 0,1???. A doua cifră trebuie să fie diferită de a doua cifră a celui de-al doilea număr real, deci diferită de 9. Scriem, să zicem, un 2: 0,12???. Și așa mai departe. Primele nouă cifre ar putea arăta deci așa: 0,123123127 (vezi ultimul rând al tabelului):
1 → 0,3452807674449021… 2 → 0,8978319745321683… 3 → 0,8972169570849831… 4 → 0,0635759905832629… 5 → 0,0081863365749335… 6 → 0,4000559394278442… 7 → 0,8637537627594889… 8 → 0,4818063607183678 9 → 0,4208424736008147 ? → 0,123123127
Vedem că acest număr este diferit de toate numerele din tabel, pentru că diferă de fiecare dintre ele cel puțin printr-o cifră. Deși tabelul nostru conține o infinitate de numere, noul nostru număr este format din infinit de multe cifre alese astfel încât să difere de toate numerele din tabel cel puțin printr-o cifră. Și observă că putem construi infinit de multe numere care nu sunt în tabel! Ce rezultă de aici? Nu putem asocia numerele naturale cu cele reale. Ne rămân mereu infinit de multe numere reale care nu sunt asociate cu niciun număr natural. Numerele reale sunt mult mai multe decât cele naturale.
Note la final
- În tot articolul am ignorat, pentru simplitate, numerele negative. Ele nu schimbă nimic, iar ca temă pentru acasă poți adapta strategiile de asociere de aici astfel încât să funcționeze și cu numere negative. (Am pornit mereu de la 1; dacă numărăm și 0 printre numerele naturale, nu se schimbă nimic.)
- Cardinalul mulțimii numerelor naturale are chiar un nume propriu. Îi spunem alef zero (alef-0).
- În matematică folosim adesea noțiunea de cardinal al unei mulțimi în loc de „mărimea unei mulțimi”.
