Vectori

Vectorul este o mărime care, pe lângă valoare, are și direcție și sens. Prin aceasta se deosebește de un număr obișnuit, adică de un scalar, care are doar valoare.

Segmentul orientat

Avem în plan două puncte distincte A, B. Între aceste puncte putem duce un segment. Un astfel de segment îl notăm de obicei AB, iar ordinea punctelor nu contează: segmentul AB este exact același cu segmentul BA.

Nu ne convine întotdeauna acest lucru, de aceea introducem noțiunea de segment orientat, la care deosebim originea (punctul inițial) și extremitatea (punctul final). Segmentul orientat AB are originea în A și extremitatea în B. În figură, segmentul orientat se desenează cu o săgeată, iar în text îl scriem cu o săgeată deasupra punctelor: $\overrightarrow{AB}$. Exemplu:

Cu albastru este desenat segmentul AB, iar cu roșu segmentul orientat $\overrightarrow{CD}$. Dacă un segment orientat $\overrightarrow{AB}$ are A = B, îl numim segment orientat nul. Un astfel de segment are aceeași origine și aceeași extremitate; nici nu am zice că e un segment, fiindcă de fapt este doar un punct.

Lungimea (modulul) unui segment orientat este aceeași cu lungimea segmentului obișnuit. Avem $|\overrightarrow{AB}|=|AB|$.

Direcția și sensul segmentului orientat

Privește următoarele două segmente orientate $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$:

Se vede de la prima vedere că segmentele orientate au aceeași direcție și același sens. Deși am putea defini riguros noțiunile de „direcție” și „sens”, rămânem la înțelegerea lor intuitivă. Simplificat, două segmente orientate au aceeași direcție dacă sunt paralele, și același sens dacă, în plus, unul nu indică în partea opusă față de celălalt. Iată perechi de segmente orientate care au același sens:

Ultimele segmente, cele verzi, sunt segmentele orientate $\overrightarrow{IJ}$ și $\overrightarrow{IK}$. Urmează exemple de perechi de segmente care nu au aceeași direcție și același sens:

Ce este un vector

Să revenim la figura cu cele două segmente orientate cu același sens:

Vedem că aceste segmente orientate au nu numai aceeași direcție și același sens, ci și aceeași lungime. Singura deosebire dintre ele este că sunt așezate în locuri diferite. Segmentele orientate care au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime reprezintă unul și același vector.

Un singur vector poate fi desenat în plan (în spațiu…) într-o infinitate de moduri – este suficient să luăm orice segment orientat cu aceeași direcție, același sens și aceeași lungime ca vectorul dat. Următoarele segmente orientate reprezintă toate un singur vector:

Vectorul este determinat doar de lungimea, direcția și sensul său. Lungimea, direcția și sensul vectorului sunt aceleași cu cele ale segmentului orientat care îl reprezintă. Vectorii se notează de obicei cu o săgeată deasupra, la fel ca segmentul orientat. Putem avea astfel vectorul $\overrightarrow{AB}$ sau, mai scurt, vectorul $\overrightarrow{u}$.

Un anumit segment orientat reprezintă o poziție a vectorului. În figura precedentă avem în total 7 segmente orientate, fiecare determinând o altă poziție a vectorului. Segmentele orientate $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{MN}$ reprezintă același vector, să zicem $\overrightarrow{v}$, dar sunt două poziții diferite ale vectorului $\overrightarrow{v}$.

Vectori coliniari

Avem doi vectori $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. Spunem că acești vectori sunt coliniari dacă sunt paraleli. Vectorii $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ nu trebuie să aibă aceeași lungime. Sensul trebuie să fie fie același, fie opus. Exemple de vectori coliniari:

Toți vectorii roșii sunt coliniari – sunt paraleli. Sensul nu mai contează: este totuna dacă indică spre colțul din dreapta sus sau spre cel din stânga jos. Vectorul albastru $\overrightarrow{GH}$ nu este coliniar cu ei.

Totuși, dacă vectorii coliniari au același sens, spunem că sunt coliniari de același sens, iar dacă nu au același sens, sunt coliniari de sensuri opuse. Să ne întoarcem la figura precedentă: vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{EF}$ sunt coliniari de același sens, iar vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{KL}$ sunt coliniari de sensuri opuse.

Coordonatele vectorilor

Știm deja că un vector poate fi reprezentat printr-o infinitate de segmente orientate. Unul dintre aceste segmente are originea în originea sistemului de coordonate, adică în punctul O(0, 0) când este vorba de plan, respectiv O(0, 0, 0) când este vorba de spațiu. Privește figura următoare:

Segmentele orientate $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime, deci reprezintă un singur vector. Segmentul $\overrightarrow{CD}$ pleacă din originea sistemului de coordonate, coordonatele punctului C sunt (0, 0). Același lucru este valabil pentru perechea de segmente $\overrightarrow{EF}$ și $\overrightarrow{KL}$.

Dacă știm că segmentele $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ pleacă din origine, putem conveni să notăm acești vectori doar prin extremitate. Originea este aceeași (este originea sistemului de coordonate), așa că pentru a deosebi segmentele $\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$ ne este suficient să scriem extremitățile lor.

Spunem că vectorul $\overrightarrow{AB}$, deci și vectorul $\overrightarrow{CD}$, are coordonatele (3, 1), adică coordonatele punctului D – extremitatea segmentului $\overrightarrow{CD}$. Vectorul $\overrightarrow{KL}$ are atunci coordonatele (−1, 4), coordonatele punctului F.

Cum calculăm coordonatele unui vector

Iată acum modul matematic de a determina coordonatele unui vector. Pornim de la faptul că știm coordonatele punctelor A, B care determină vectorul $\overrightarrow{u}$. Fie deci vectorul $\overrightarrow{u}$ determinat de punctele A(2, 3) și B(5, 4). Este vectorul roșu din partea de sus a figurii precedente. Cum aflăm coordonatele punctului D, adică ale extremității segmentului orientat care reprezintă vectorul $\overrightarrow{u}$ și pornește din origine?

Pur și simplu mutăm tot segmentul $\overrightarrow{AB}$ în originea sistemului de coordonate. Ca să aducem punctul A în origine, trebuie să-l deplasăm cu 2 pătrățele spre stânga și cu 3 pătrățele în jos. La fel și punctul B. Altfel spus: din coordonatele ambelor puncte A și B scădem coordonatele punctului A. Astfel mutăm segmentul $\overrightarrow{AB}$ în locul unde este desenat segmentul $\overrightarrow{CD}$. Putem scrie:

$$\begin{array}{rcl}A-A=(2,3)-(2,3)& =& (0,0)\\ B-A=(5,4)-(2,3)& =& (3,1)\end{array}$$

Coordonatele vectorului $\overrightarrow{u}$ sunt deci (3, 1), extremitatea segmentului orientat care are originea în origine.

Putem scrie că, dacă vectorul $\overrightarrow{u}$ este determinat de punctele A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂), coordonatele vectorului $\overrightarrow{u}$ se află astfel:

$$B-A=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

Coordonatele vectorului $\overrightarrow{u}$ se scriu între paranteze rotunde, deci coordonatele vectorului $\overrightarrow{u}$ de mai sus s-ar scrie așa: $\overrightarrow{u}(3,1)$.

Ne putem întoarce la figură și calcula coordonatele vectorului $\overrightarrow{KL}$. Coordonatele punctelor K și L sunt K(−2, 1), L(−3, 5). Coordonatele vectorului vor fi

$$L-K=(-3,5)-(-2,1)=(-1,4)$$

Vedem că ne-au ieșit corect coordonatele punctului F.

Cum calculăm modulul vectorilor

Odată ce cunoaștem coordonatele vectorilor, le putem calcula ușor modulul. Cu teorema lui Pitagora se deduce simplu că modulul vectorului de coordonate $\overrightarrow{u}(u_1,u_2)$ în plan este

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$$

În figura următoare vedem că coordonatele vectorului coincid cu lungimile laturilor triunghiului format și că, aplicând teorema lui Pitagora, calculăm într-adevăr ușor modulul vectorului.

Dacă avem vectorul $\overrightarrow{u}(2,4)$, modulul său va fi

$$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$$

Urmează două exemple pentru exersarea materiei parcurse.

1. Determină coordonatele vectorului $\overrightarrow{u}$ dat de punctele A(3, 7), B(−1, 0). Aici procedeul este simplu și direct: $\overrightarrow{u}=(u_1,u_2)=B-A$.

   $$u_1=-1-3=-4,u_2=0-7=-7$$

   Vectorul are deci coordonatele $\overrightarrow{u}(-4,-7)$.

2. Știm că vectorul $\overrightarrow{u}$ are coordonatele $\overrightarrow{u}(2,3)$ și este format din punctele A(6, 6) și B(x₁, y₁), adică $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$. Află coordonatele punctului B.

   Scriem din nou vechea noastră egalitate și din ea izolăm necunoscuta:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_1& =& x_1-6\\ x_1& =& u_1+6\\ x_1& =& 2+6\\ x_1& =& 8\end{array}$$

   A doua coordonată o aflăm prin același procedeu:

   $$\begin{array}{rcl}{u}_2& =& y_1-6\\ y_1& =& u_2+6\\ y_1& =& 3+6\\ y_1& =& 9\end{array}$$

   Punctul B are coordonatele (8, 9).