Integrala

Procesul de integrare a unei funcții este opus procesului de derivare a unei funcții.

Primitiva

Începem cu o problemă ușoară. Fie funcția f(x) = 2x. Să găsim acum o funcție F care, după derivare, să fie egală cu funcția f. Scris formal, căutăm funcția F astfel încât să avem F′ = f.

Din formulele de bază pentru calculul derivatelor știm că aceasta este funcția F(x) = x². Derivata funcției x² este egală tocmai cu 2x. Întrebarea este dacă această funcție este singura care îndeplinește condiția.

Răspunsul este că nu – dacă la funcția x² adunăm orice constantă reală, după derivare obținem din nou funcția 2x, pentru că derivata unei constante este zero. Orice funcție de forma x² + C, unde C este o constantă reală, poate fi considerată funcția F căutată de noi.

Putem generaliza această problemă. Fie dată o funcție reală f și să găsim o funcție F pentru care F′(x) = f(x) pentru orice x din D_f, eventual dintr-un interval al domeniului de definiție. Această funcție nu este neapărat determinată unic, dar, pe de altă parte, se poate întâmpla ca o astfel de funcție să nici nu existe.

Această funcție F o numim primitivă a funcției f. Scriem:

$$F(x)=\int f(x)\text{ d}x$$

Funcția f se numește funcția de integrat, iar procesul de căutare a primitivei se numește integrare. Expresia dx arată în raport cu ce variabilă integrăm. Dacă scriem exemplul astfel

$$\int 4x^3\text{ d}x,$$

vrem să găsim primitiva funcției 4x³, integrând în raport cu variabila x. Rezultatul poate fi deci funcția x⁴, care după derivare este egală tocmai cu 4x³. Bineînțeles, la această funcție putem adăuga orice constantă reală.

Se poate demonstra că o primitivă fie nu există, fie este întotdeauna de forma F(x) + C, unde C este o constantă reală oarecare – și atunci sunt infinit de multe, pentru că avem infinit de multe constante reale. Dacă am găsit deci funcția F(x), putem genera toate primitivele. În același timp, nicio altă funcție, pe care nu am genera-o pe această cale, nu mai este primitivă a funcției căutate de noi.

Încă câteva cuvinte despre expresia dx. Pare foarte misterioasă, dar chiar doar arată în raport cu ce variabilă integrăm. Dacă, de exemplu, avem integrala

$$\int a\cdot b+c\text{ d}b,$$

înseamnă că integrăm în raport cu variabila b, iar celelalte litere a și c se comportă ca niște constante. Adică se comportă la fel ca și cum ar fi acolo numere.

Integrarea funcțiilor elementare

Putem deduce ușor formulele pentru calculul primitivelor unor funcții elementare. Pe tot parcursul capitolului să presupunem că C ∈ ℝ.

Începem cu funcția f(x) = 0, funcția nulă. Ce funcție va fi după derivare egală cu zero? Orice funcție care conține doar o constantă:

$$\int 0\text{ d}x=C$$

Apoi funcția f(x) = 1. Este valabil x′ = 1, deci integrala lui unu va fi egală cu

$$\int 1\text{ d}x=x+C$$

Urmează funcția f(x) = x. Ce funcție trebuie să derivăm ca să obținem ca rezultat x? Dacă derivăm x², obținem 2x. Suntem deja aproape de unde voiam să ajungem. Ajunge să împărțim la doi. Dacă derivăm deci (x²)/2, obținem tocmai x.

$$\int x\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

Dacă generalizăm la funcția xⁿ, unde n ∈ ℝ, obținem formula:

$$\int x^n\text{ d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

Observă că această formulă nu este valabilă pentru n = −1, pentru că am împărți la zero, iar asta nu se face, nu este frumos. Deci dacă avem n = −1, obținem funcția f(x) = x⁻¹, adică funcția 1/x. Ce funcție trebuie să derivăm ca să obținem 1/x? Este logaritmul.

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln x+C$$

Problema este că logaritmul este definit doar pentru numere reale pozitive, deci această formulă nu este valabilă pentru orice x din D_f. Totuși este valabilă pentru intervalul (0, +∞). Pentru intervalul (−∞, 0) doar schimbăm semnul argumentului logaritmului: ln(−x). Dacă le reunim, putem scrie

$$\int \frac{1}{x}\text{ d}x=\ln |x|+C$$

Această formulă este valabilă pentru orice x ∈ D_f. Alte integrale, de exemplu pentru funcții trigonometrice, găsești în tabelul următor:

$$\begin{array}{rcl}\int a^x\text{ d}x& =& \frac{a^x}{\ln a}+C\text{pentru }a>0,a\ne 1\\ \int \sin x\text{ d}x& =& -\cos x+C\\ \int \cos x\text{ d}x& =& \sin x+C\end{array}$$

Integrala unei sume

În timp ce calculul derivatei unei funcții este de obicei destul de simplu și – cum se spune – îl poate face și o maimuță dresată, pentru că de obicei se procedează direct după formule, la integrale situația este alta. Metodele de calcul al integralelor sunt destul de complicate, din cauza cărora problema găsirii integralei este mult mai grea decât calculul unei derivate. Se datorează mai ales faptului că avem, ce-i drept, o formulă pe care o așteptam pentru integrala unei sume, dar nu și pentru cea a unui produs.

Să încercăm să calculăm această integrală:

$$\int x+1\text{ d}x$$

Cum am putea s-o calculăm? Avem nevoie de o funcție care după derivare să dea x și apoi de o altă funcție care să dea 1. Din formule știm deja că este vorba de funcțiile (x²)/2 și x. Dacă adunăm aceste funcții, obținem f(x) = (x²)/2 + x. După derivarea acestei funcții obținem x + 1. Astfel am obținut rezultatul:

$$\int x+1\text{ d}x=\frac{x^2}{2}+x+C$$

În timpul calculului am folosit o proprietate – integrala unei sume este egală cu suma integralelor. Adică

$$\int f(x)+g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x+\int g(x)\text{ d}x$$

Este valabil în același timp și pentru scădere:

$$\int f(x)-g(x)\text{ d}x=\int f(x)\text{ d}x-\int g(x)\text{ d}x$$

De aceea am putut descompune exemplul precedent astfel:

$$\int x+1\text{ d}x=\int x\text{ d}x+\int 1\text{ d}x$$

Scoaterea constantei în fața integralei

O proprietate asemănătoare este valabilă și pentru scoaterea constantei în fața integralei. Dacă avem integrala de forma:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x,$$

unde a este o constantă reală oarecare, putem scoate această constantă în fața integralei:

$$\int a\cdot f(x)\text{ d}x=a\cdot \int f(x)\text{ d}x$$

Exemplu

Calculează integrala:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x$$

În primul pas o descompunem în trei integrale:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\int x^2\text{ d}x+\int 6x\text{ d}x+\int 42\text{ d}x$$

Integralele le vom rezolva pe rând. Prima integrală o putem rezolva direct după formula pentru puteri xⁿ:

$$\int x^2\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+C$$

În a doua integrală scoatem mai întâi factorul comun, șase:

$$\int 6x\text{ d}x=6\cdot \int x\text{ d}x$$

Integrala lui x este din nou o valoare din tabel, este egală cu (x²)/2. Deci obținem:

$$6\cdot \int x\text{ d}x=6\cdot \left(\frac{x^2}{2}\right)=3x^2+C$$

În ultima integrală scoatem de asemenea mai întâi 42:

$$\int 42\text{ d}x=42\cdot \int 1\text{ d}x$$

Și aceasta este iarăși o valoare din tabel:

$$42\cdot \int 1\text{ d}x=42x+C$$

Adunăm aceste integrale parțiale și avem rezultatul:

$$\int x^2+6x+42\text{ d}x=\frac{x^3}{3}+3x^2+42x+C$$

Încă o observație – în fiecare integrală parțială am obținut constanta C, deci la adunare ar trebui să scriem în rezultat +3C în loc de +C. Totuși C este o constantă reală oarecare, deci 3C va fi iarăși egal cu un număr real. Am putea înlocui C din integralele parțiale cu C₁, C₂, C₃ și apoi am putea spune că C = C₁ + C₂ + C₃.