Exemple introductive de derivate

În acest articol arătăm mai întâi câteva formule utile pentru lucrul cu derivatele, iar apoi încercăm să rezolvăm derivatele unor funcții – simple și complicate. Dacă nu cauți exemple rezolvate, ci ai nevoie de explicarea definiției derivatei, treci la articolul derivata unei funcții.

Derivata polinoamelor

Mai întâi menționăm câteva formule de care vom avea nevoie la rezolvarea derivatelor funcțiilor care au forma unui polinom. În partea stângă este funcția elementară pe care vrem s-o derivăm, iar în partea dreaptă este funcția obținută după derivare. Pentru claritate: c este o constantă (chiar în primul rând avem deci funcția constantă) și derivăm în raport cu x.

$$\begin{array}{rcl}{c}^{\prime }& =& 0\\ x^{\prime }& =& 1\\ (x^c{)}^{\prime }& =& c\cdot x^{c-1}\end{array}$$

Câteva exemple concrete:

$$f(x)=5$$

Aceasta este o funcție constantă, aplicăm deci prima formulă și obținem:

$$f^{\prime }(x)=0.$$

Funcția de gradul întâi f(x) = x are, conform celei de-a doua formule, derivata

$$f^{\prime }(x)=1,$$

nu mai este nimic de cercetat aici. De aceea încercăm să derivăm funcția

$$f(x)=x^5.$$

Aplicăm ultima formulă, în care în locul lui c punem exponentul, adică c = 5.

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=5x^{5-1}=5x^4$$

Formula funcționează și pentru exponent negativ, deci dacă vrem să derivăm funcția

$$f(x)=x^{-7},$$

obținem:

$$f^{\prime }(x)=c\cdot x^{c-1}=-7x^{-7-1}=-7x^{-8}.$$

Pentru alte exerciții vom avea nevoie de formulele pentru adunarea și înmulțirea funcțiilor. Iar dacă am vrea să obținem înapoi din funcția derivată funcția inițială, folosim integralele.

Derivata sumei

Dacă vrem să calculăm derivata unei funcții care conține niște expresii adunate, calculăm pur și simplu derivatele termenilor și adunăm rezultatele intermediare. Scriem astfel:

$$(f_1(x)+f_2(x){)}^{\prime }=f_1^{\prime }(x)+f_2^{\prime }(x)$$

Un exemplu simplu, fie funcția f(x) = x + 5. Derivata acestei funcții va fi:

$$f^{\prime }(x)=x^{\prime }+5^{\prime }=1+0=1.$$

Am descompus funcția în două funcții, astfel:

$$\begin{array}{rcl}{f}_1(x)& =& x\\ f_2(x)& =& 5\end{array}$$

și am înlocuit doar în formulă. Adică am calculat derivatele funcțiilor f₁ și f₂ și am adunat rezultatele. Identic funcționează pentru scădere. Un exemplu mai complicat:

$$f(x)=x^3+x-8$$

Din nou derivăm doar cei trei termeni, pe rând, și îi lăsăm în sumă:

$$f^{\prime }(x)=(x^3{)}^{\prime }+x^{\prime }-8^{\prime }=3x^2+1+0$$

Derivata produsului

Produsul, din păcate, nu se rezolvă la fel de simplu ca adunarea obișnuită, pentru produsul a două funcții trebuie să folosim o formulă puțin complicată:

$$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

O funcție trivială care conține o înmulțire este, de exemplu, funcția

$$s(x)=5\cdot x^2$$

În formula pentru înmulțire avem două funcții, pe acestea le obținem din această funcție s(x) astfel: f(x) = 5 și g(x) = x². Acum înlocuim ușor:

$$s^{\prime }(x)=5^{\prime }\cdot x^2+5\cdot (x^2{)}^{\prime }=0\cdot x^2+5\cdot 2x=10x$$

Vedem că dacă avem o funcție de forma

$$f(x)=a\cdot x^c,$$

atunci după derivare obținem

$$(a\cdot x^c{)}^{\prime }=a\cdot (x^c{)}^{\prime }=a\cdot c\cdot x^{c-1}.$$

Această regulă o putem generaliza și, în locul monomului, putem pune orice funcție. Deci pentru orice funcție f(x) avem

$$(a\cdot f(x){)}^{\prime }=a\cdot f^{\prime }(x).$$

Ca exemplu, încercăm să derivăm această funcție:

$$f(x)=5x^3-7x^2+10$$

La începutul derivării aplicăm mai întâi regula sumei:

$$f^{\prime }(x)=(5x^3{)}^{\prime }-(7x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Expresiile cu produs le scriem după ultima formulă menționată:

$$=5(x^3{)}^{\prime }-7(x^2{)}^{\prime }+{10}^{\prime }=$$

Derivăm expresiile din paranteze după regula de derivare pentru x^c.

$$=5\cdot 3x^2-7\cdot 2x+0=$$

Și la sfârșit doar înmulțim coeficienții:

$$=15x^2-14x.$$

Derivata câtului

Derivata câtului este, la rândul ei, puțin mai complicată decât derivata produsului. Formula:

$${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

Dar în rest procedeul este analog cu cel de la produs. Deci imediat un exemplu:

$${\left(\frac{x^2+3x+1}{2x-1}\right)}^{\prime }=$$

Numărătorul fracției reprezintă funcția f(x), numitorul funcția g(x). Și acum doar înlocuim în formulă:

$$=\frac{(x^2+3x+1{)}^{\prime }(2x-1)-(x^2+3x+1)(2x-1{)}^{\prime }}{(2x-1{)}^2}=$$

La numitor avem numitorul ridicat la pătrat, iar la numărător avem fracția scrisă după formulă. Acum derivăm prima și ultima paranteză. Din nou apare regula sumei, o sar și scriu direct rezultatul:

$$=\frac{(2x+3)(2x-1)-2(x^2+3x+1)}{(2x-1{)}^2}=\dots$$

Această expresie am putea-o simplifica în continuare, dar asta nu mai este esențial în acest capitol.

Derivatele funcțiilor elementare

Acum prezentăm, fără alte deduceri, câteva formule pentru calculul derivatei funcțiilor uzuale.

Puteri și logaritmi:

$$\begin{array}{rcl}(c^x{)}^{\prime }& =& c^x\ln c;c>0\\ (e^x{)}^{\prime }& =& e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x\cdot \ln a};a>0\wedge a\ne 1\\ (\ln x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{x}\end{array}$$

Observă că derivata funcției e^x este tot e^x, nu este o greșeală de scriere, ci o proprietate frumoasă, care a devenit baza multor glume.

Funcții trigonometrice:

$$\begin{array}{rcl}(\sin x{)}^{\prime }& =& \cos x\\ (\cos x{)}^{\prime }& =& -\sin x\\ (\mathrm{tg}x{)}^{\prime }& =& \frac{1}{{\cos }^{2}x}\\ (\mathrm{ctg}x{)}^{\prime }& =& -\frac{1}{{\sin }^{2}x}\end{array}$$

Un exemplu simplu:

$$(3\sin x+2\ln x{)}^{\prime }=$$

Ambele expresii sunt adunate, deci este suficient să adunăm derivatele celor două expresii. Fiecare expresie conține la început o constantă care înmulțește funcția din spatele ei – știm că în acest caz este suficient să derivăm funcția și să nu modificăm constanta. Facem asta:

$$=3(\sin x{)}^{\prime }+2(\ln x{)}^{\prime }=$$

Acestea sunt deja valori din tabel:

$$=3\cos x+2\frac{1}{x}=3\cos x+\frac{2}{x}.$$

Derivata funcției compuse

Din proprietățile derivatei și din aplicarea ei la studiul funcției știm că, în anumite condiții, putem avea două funcții derivabile, iar prin compunerea lor obținem din nou o funcție derivabilă. Vom arăta cum se calculează derivata unei astfel de funcții compuse.

Derivata funcției compuse este probabil noțiunea cea mai grea dintre aceste derivate de bază. Funcțiile ca atare le putem compune. Ce este o funcție compusă poți citi mai pe larg în articolele Ce este o funcție sau Domeniul de definiție al funcției. Aproximativ, înseamnă că ca argument al unei funcții dăm o altă funcție. Notația simbolică ar arăta astfel: h(g(x)). O funcție concretă poate fi, de exemplu,

$$f(x)=\sin (2x).$$

Care sunt cele două funcții de acolo? Sinus și apoi funcția imbricată 2x. Pe această funcție f nu putem aplica pur și simplu formula generală pentru sin(x), pentru că aceasta se așteaptă să primească în argument x, nu 2x. Calculul derivatei funcției compuse decurge deci astfel:

$$\begin{array}{rcl}f(x)& =& h(g(x))\\ f^{\prime }(x)& =& h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)\end{array}$$

Adică derivăm funcția exterioară și îi lăsăm același argument, apoi înmulțim cu derivata funcției interioare. În cazul acestui exemplu cu sinus ar fi:

$$(\sin (2x){)}^{\prime }={\sin }^{\prime }(2x)\cdot (2x{)}^{\prime }=$$

Apostroful doar la sinus înseamnă că derivăm numai sinusul însuși, nu derivăm întreaga expresie, ca în expresia din partea stângă a egalității. Derivata sinusului este cosinus, deci în locul sinusului scriem doar cosinus. Iar derivata lui 2x este 2:

$$=\cos (2x)\cdot 2=2\cos (2x).$$

Un alt exemplu, puțin mai complicat.

$$(\cos (\ln x^2){)}^{\prime }=$$

Aici avem cu o funcție imbricată mai mult. Funcția exterioară este cosinus, cea din mijloc este logaritmul, iar cea mai interioară este puterea x². Procedăm însă din nou după formulă. Scriem:

$$={\cos }^{\prime }(\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Derivăm doar cosinusul, argumentul cosinusului îl lăsăm așa cum este, adică lăsăm acolo întregul logaritm. Întreaga expresie o înmulțim apoi cu derivata argumentului, adică cu derivata logaritmului. Derivăm cosinusul și avem:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot (\ln x^2{)}^{\prime }=$$

Expresia din dreapta nu s-a schimbat, am derivat doar cosinusul. Acum trecem la derivata logaritmului. Din nou este o funcție compusă, deci aplicăm recursiv formula pentru funcția compusă. Expresia din stânga o rescriem doar:

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot {\ln }^{\prime }{x}^2\cdot (x^2{)}^{\prime }=$$

Derivăm logaritmul și îi lăsăm argumentul la fel, adică x². Dar întreaga expresie o mai înmulțim cu derivata argumentului, adică cu derivata lui x². Derivata logaritmului este fracția 1/x, unde în locul lui x punem argumentul nostru x², iar derivata lui x² este 2x.

$$=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{1}{x^2}2x=-\sin (\ln x^2)\cdot \frac{2}{x}=-\frac{2\sin (\ln x^2)}{x}.$$